Question

如圖所示，以A、B為端點(diǎn)的1/4光滑圓弧軌道固定于豎直平面，一足夠長滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與圓弧軌道相切于B點(diǎn)，離滑板右端L=處有一豎直固定的擋板P．一物塊從A點(diǎn)由靜止開始沿軌道滑下，經(jīng)B滑上滑板．已知物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，圓弧軌道半徑為R，物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，重力加速度為g．滑板與擋板的碰撞沒有機(jī)械能損失，滑板返回B點(diǎn)時(shí)即被鎖定．
（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大��；
（2）求滑板與擋板P碰撞前瞬間物塊的速度大��；
（3）站在地面的觀察者看到在一段時(shí)間內(nèi)物塊正在做加速運(yùn)動(dòng)，求這段時(shí)間內(nèi)滑板的速度范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）滑塊下滑過程只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)守恒定律列式求解即可；
（2）先假設(shè)碰撞前滑塊和滑板速度已經(jīng)相同，先根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解滑板速度，再根據(jù)動(dòng)能定理列式求解出滑板的位移；會(huì)發(fā)現(xiàn)假設(shè)成立；
（3）碰撞后滑板作勻減速運(yùn)動(dòng)，物塊先向右減速，再向左加速運(yùn)動(dòng)；根據(jù)動(dòng)量守恒定律得到滑塊加速運(yùn)動(dòng)的初速度和末速度，然后求解出對應(yīng)時(shí)刻滑板的速度，即得到要求解的滑板速度范圍．
解答：解：（1）物塊由A到B的運(yùn)動(dòng)過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒．設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為v，有：
mgR=             ①
解得：v=        ②
（2）假設(shè)滑板與P碰撞前，物塊與滑板具有共同速度v₁，取向右為正，由動(dòng)量守恒定律，有：
mv=（m+M）v₁           ③
設(shè)此過程滑板運(yùn)動(dòng)的位移為s，由動(dòng)能定理，得：
     ④
③、④式聯(lián)立，解得：，
s==＜L= 
所以假設(shè)成立，滑板與擋板P碰撞前瞬間物塊的速度大小為  
（3）由于滑板與擋板的碰撞沒有機(jī)械能損失，所以滑板與擋板P碰撞后速度v₁大小不變，只是方向向左．
此后滑板作勻減速運(yùn)動(dòng)，物塊先向右減速，再向左加速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)兩者第二次具有共同速度為v₂，取向左為正，有：
Mv₁-mv₁=（m+M）v₂    ⑤
設(shè)此時(shí)滑板離P的距離為s′，由動(dòng)能定理：
-μmgs=  ⑥
解得：       
，說明滑板與物塊具有共同速度時(shí)還沒有返回到B點(diǎn)，兩者能夠第二次達(dá)到共同速度．
設(shè)當(dāng)物塊的速度減為零時(shí)，滑板速度為v₃，取向左為正，有：
Mv₁-mv₁=Mv₃      ⑦
解得：v₃= 
所以，物塊加速運(yùn)動(dòng)階段的速度范圍為，0
此階段滑板的速度范圍為：．
答：（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為；
（2）滑板與擋板P碰撞前瞬間物塊的速度大小為；
（3）物塊做加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)滑板的速度范圍為．
點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是明確滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要綜合運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律反復(fù)列式，較難．