Question

17．有一長(zhǎng)度為l=1m的木塊A，放在足夠長(zhǎng)的水平地面上．取一無(wú)蓋長(zhǎng)方形木盒萬(wàn)將A罩住，B的左右內(nèi)壁間的距離為L(zhǎng)=9m．A，B質(zhì)量相同均為m=1kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ_A=0.2和μ_B=0.3開始時(shí)A與B的左內(nèi)壁接觸，兩者以相同的初速度v₀=28m/s向右運(yùn)動(dòng)．已知A與B的左右內(nèi)壁發(fā)生的碰撞時(shí)間極短（可忽略不計(jì)），且碰撞后A，B互相交換速度．A與B的其它側(cè)面無(wú)接觸．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A，B發(fā)生第一次碰撞；
（2）從開始運(yùn)動(dòng)到第二次碰撞碰后摩擦產(chǎn)生的熱能；
（3）若僅v₀未知，其余條件保持不變，a）要使A，B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，初速度場(chǎng)應(yīng)滿足何條件？（b）要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)至B右壁剛好停止，初速度v₀應(yīng)滿足何條件？

Answer 1

分析 （1）木塊和木盒分別做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
（2）木塊和木盒相碰過(guò)程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，列出等式求解．
（3）分析木塊、木盒的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和位置之間的幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）木塊和木盒分別做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為：a_A=μ_Ag=0.2×10=2m/s² a_B=μ_Bg=0.3×10=3m/s²    
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間T發(fā)生第一次碰撞  則有：
L-l=S_A-S_B=v₀T-$\frac{1}{2}{a}_{A}{T}^{2}$-（${v}_{0}T-\frac{1}{2}{a}_{B}{T}^{2}$）
代入數(shù)據(jù)得：T=4s       
（2）碰前木塊和木盒的速度分別為：
v_A=v₀-a_AT=28-2×4=20m/s    v_B=v₀-a_BT=28-3×4=16m/s
碰撞結(jié)束后二者互換速度，所以：v_A′=v_B=16m/s；v_B′=v_A=20m/s
接下來(lái)到第二次發(fā)生碰撞：L-l=S_B′-S_A′=${v}_{B}′T′-\frac{1}{2}{a}_{B}T{′}^{2}-（{v}_{A}′T′-\frac{1}{2}{a}_{A}T{′}^{2}）$
代入數(shù)據(jù)得：T′=4s
二者在左端碰撞，碰撞前：v_A′=v_A-a_AT′=16-2×4=8m/s
v_B′=v_B-a_BT′=20-3×4=8m/s
產(chǎn)生熱量等于損失的動(dòng)能，即：
Q=$\frac{1}{2}×2m•{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}×m{v′}_{A}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：Q=720J
（3）由以上的分析可知，木塊、木盒經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁=2T在左端相遇接觸時(shí)速度恰好相同               
同理可得：木塊、木盒經(jīng)過(guò)同樣時(shí)間t₂=2T，第二次在左端相遇
再經(jīng)過(guò)t₂=2T，第三次在左端相遇，
…每一次相遇時(shí)，速度都減小20m/s．
n次相遇后，速度恰好為零．可知速度需滿足：v₀=20n（m/s）（n=1，2，3…）            
（b）要使B先停下，則需要滿足：v₀=K△v+v（K取自然數(shù)，0＜v＜μ_BgT=12m/s）經(jīng)過(guò)K次碰撞后，A運(yùn)動(dòng)到B的左端，且有共同的速度v，接著，A與B都做減速運(yùn)動(dòng)，直到停止，A恰好運(yùn)動(dòng)到B的右端，則滿足：L-l=$\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{A}g}-\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{B}g}$
代入數(shù)據(jù)得：$v=4\sqrt{6}$m/s
所以要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)至B右壁剛好停止，初速度v₀應(yīng)滿足：
${v}_{0}=（20K+4\sqrt{6}）$m/s（K�。�1，2，3…）                   
答：（1）開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)4s時(shí)間A，B發(fā)生第一次碰撞；
（2）從開始運(yùn)動(dòng)到第二次碰撞碰后摩擦產(chǎn)生的熱能s 720J；
（3）若僅v₀未知，其余條件保持不變，a）要使A，B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，初速度場(chǎng)應(yīng)滿足：v₀=20n（m/s）（n=1，2，3…） 
（b）要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)至B右壁剛好停止，初速度v₀應(yīng)滿足：${v}_{0}=（20K+4\sqrt{6}）$m/s（K�。�1，2，3…）

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要清楚木塊、木盒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，能夠把相碰過(guò)程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合運(yùn)用．