Question

6．如圖，一輕桿兩端各固定一個小球A、B，質量均為0.2kg，可繞水平固定轉軸O點在豎直平面內轉動．A到O點距離l₁=20cm，B到O點距離l₂=40cm．O點下方有一個水平向左、大小E=10⁴N/C的勻強電場，B球電荷量q=5×10^-5C，A球不帶電．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）系統(tǒng)力矩平衡時，輕桿與豎直方向的夾角α；
（2）系統(tǒng)在什么位置靜止釋放能使系統(tǒng)在力矩平衡位置獲得的總動能最大，以及最大總動能的值；
（3）將輕桿轉至水平靜止釋放，通過討論和計算說明系統(tǒng)能否在豎直平面內連續(xù)轉動．

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)力矩平衡，根據力矩平衡求解
（2）B球在上、A球在下，桿在豎直位置靜止釋放，順時針轉動到力矩平衡處總動能最大，根據動能定理列式求解；
（3）根據動能定理列式后討論得出結果．

解答 解：
（1）力矩平衡：m_Bgl₂sinα=Eql₂cosα+m_Agl₁sinα，
tanα=$\frac{1}{2}$；  
α=arctan$\frac{1}{2}$；                      
（2）B球在上、A球在下，桿在豎直位置靜止釋放，順時針轉動到力矩平衡處總動能最大（B球受到的電場力做功最大且系統(tǒng)重力做功最大），
W_總=m_Bgl₂（1+cosα）-m_Agl₁（1+cosα）+Eql₂（1+sinα）=△E_k，
${E_{kmax}}=\frac{{3+\sqrt{5}}}{5}$J=1.047J；  
（3）討論：
Ⅰ．A球在左、B球在右，輕桿靜止釋放，轉到A球在最低點、B球在最高點時系統(tǒng)動能減為零：W_總=Eq2l₂-m_Bgl₂+m_Agl₁=0；        
Ⅱ．B球在左、A球在右，輕桿靜止釋放，轉到B球在O點右下方、設輕桿與豎直方向夾角為β時系統(tǒng)動能減為零：W_總=-Eql₂（1+sinβ）+m_Bgl₂cosβ-m_Agl₁cosβ=△E_k=0，
可得：2cosβ=1+sinβ
則：$β=arctan2-arcsin\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；          
綜上所述，系統(tǒng)不能在豎直平面內連續(xù)轉動．       
（1）系統(tǒng)力矩平衡時，輕桿與豎直方向的夾角為arctan$\frac{1}{2}$；
（2）系統(tǒng)在豎直位置靜止釋放能使系統(tǒng)在力矩平衡位置獲得的總動能最大，最大總動能為1.047J；
（3）將輕桿轉至水平靜止釋放，通過討論和計算說明系統(tǒng)不能在豎直平面內連續(xù)轉動．

點評 此題考查力矩平衡和動能定理的應用，注意選取過程，屬于難題．