Question

16．如圖，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態(tài)時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質量比m_A：m_B；
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球總的重力勢能改變量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，求B球的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）先對m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再對m_A球受力分析，根據共點力平衡條件列式求解．
（2）（3）A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大�。�再根據機械能守恒定律列式解決．

解答 解：（1）設繩的張力為T，對A球進行受力分析，有Nsin60°+Tsin60°=m_Ag        
Ncos60°=Tcos60°
對B球進行受力分析，有 T=m_Bg
可解得：${m_A}：{m_B}=\sqrt{3}：1$
（2）A球的重力勢能改變量為△E_pA=-m_AgR=-2mgR
B兩球的重力勢能改變量為 $△{E_{pB}}={m_B}g•\sqrt{2}R=\sqrt{2}mgR$
所以A、B兩球總的重力勢能改變量為   $△{E_p}=△{E_{pA}}+△{E_{pB}}=-（{2-\sqrt{2}}）mgR$
（3）當A球滑到碗底時，設A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則v_Acos45°=v_B （1）
根據A、B兩球總機械能守恒，有△E_K+△E_p=0            （2）
即$\frac{1}{2}{m_A}{v_A}^2+\frac{1}{2}{m_B}{v_B}^2-（{2-\sqrt{2}}）mgR=0$             （3）
聯立以上三式，解得：${v_B}=\sqrt{\frac{{2（{2-\sqrt{2}}）}}{5}gR}$（或$\sqrt{0.23gR}$或$0.48\sqrt{gR}$）
答：（1）小球A與小球B的質量比m_A：m_B；為$\sqrt{3}$：1；
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，兩球總的重力勢能改變量為-（2-$\sqrt{2}$）mgR；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，B球的速度大小為$\sqrt{0.23gR}$．

點評 本題是簡單的連接體問題，先分析受力最簡單的物體，再分析受力較復雜的另一個物體，同時要運用正交分解法處理較為方便．
注意連接體中兩個物體的速度大小不一定相等．要應用速度的分解求出兩個小球的速率關系．