Question

7．如圖甲時實驗室的過山車模型裝置，圖乙是其簡易模型，它由傾斜軌道在同一豎直平面內的二個圓形軌道組成，第一圓軌道半徑2R，第二圓軌道半徑R，圓形軌道間不相互重疊，傾斜軌道與圓軌道平滑相接，B，C分別是兩個圓形軌道的最低點，一個質量為m的小球（視為質點）從傾斜軌道上某處P點由靜止開始滑下，小球與水平軌道間的動摩擦因數為μ，其他軌道均為光滑．
（1）若要求小球能通過第一圓軌道最高點，則P點距水平軌道BC的高度h至少為多少？
（2）若小球能先后通過兩個豎直圓軌道，且經過B、C兩個最低點時，對軌道的壓力均為6mg，試求水平軌道BC間距離L．

Answer 1

分析 （1）由豎直面上圓周運動的臨界值可求得小球在第一圓軌道上最高點的速度；再動能定理可求得下滑的高度；
（2）分別由向心力公式可求得BC兩點的速度，再對BC過程由動能定理可求得BC的長度．

解答 解：（1）要使小車能通過第一圓軌道的最高點，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{2R}$
由動能定理可知：mgh-mg4R=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：
h=5R；
（2）由向心力公式可得：
6mg-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{2R}$
6mg-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
對BC過程由動能定理可得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：L=$\frac{2.5gR}{μ}$
答：（1）若要求小球能通過第一圓軌道最高點，則P點距水平軌道BC的高度h至少為5R；
（2）水平軌道BC間距離L為$\frac{2.5gR}{μ}$

點評 本題考查動能定理及向心力公式的應用，要注意正確分析物理過程，明確圓周運動臨界值問題的掌握．