Question

8．足夠長的傾角為θ的光滑斜面的底端固定一輕彈簧，彈簧的上端連接質(zhì)量為m、厚度不計的鋼板，鋼板靜止時彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，一物塊從鋼板上方距離為3x₀的A處沿斜面下滑，與鋼板碰撞后立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又向上運動．已知物塊質(zhì)量也為m時，它們恰能回到O點，O為彈簧自然伸長時鋼板的位置，若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處沿斜面下滑，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度．已知重力加速度為g，計算結(jié)果可以用根式表示，求：
（1）質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁；
（2）碰撞前彈簧的彈性勢能；
（3）質(zhì)量為2m的物塊沿斜面向上運動到達的最高點離O點的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊沿光滑斜面下滑時機械能守恒，由機械能守恒定律求物塊與鋼板碰撞前瞬間的速度大小v₀，由動量守恒定律求物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁；
（2）從碰后到回到O點的過程，對系統(tǒng)運用機械能守恒定律列式，可求得碰撞前彈簧的彈性勢能；
（3）根據(jù)動量守恒定律求出質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₂．再由機械能守恒定律求解．

解答 解：（1）設(shè)物塊與鋼板碰撞前的速度為v₀．根據(jù)機械能守恒定律得：
mg•3x₀sinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}$
對于碰撞過程，取沿斜面向下方向為正方向，由動量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
解得：v₁=$\frac{\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}}{2}$
（2）設(shè)碰撞前彈簧的彈性勢能為E_p．當物塊與鋼板一起回到O點時，彈簧無形變，彈簧的彈性勢能為零，根據(jù)機械能守恒定律得：
E_p+$\frac{1}{2}（2m）{v}_{1}^{2}$=2mgx₀sinθ
解得：E_p=$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ
（3）設(shè)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₂．由動量守恒定律得：
  2mv₀=3mv₂．
當物塊與鋼板一起回到O點時，彈簧的彈性勢能為零，但它們?nèi)岳^續(xù)向上運動，設(shè)此時它們的速度為v．根據(jù)機械能守恒定律得：
E_p+$\frac{1}{2}（3m）{v}_{2}^{2}$=3mgx₀sinθ+$\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}$
在O點物塊與鋼板分離，分離后，物塊以初速度v繼續(xù)沿斜面上升，設(shè)運動到達的最高點離O點的距離為h，則有
則有：v²=2ah
由牛頓第二定律得：2mgsinθ=2ma
解得：h=$\frac{{x}_{0}}{2}$
答：
（1）質(zhì)量為m的物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度大小v₁是$\frac{\sqrt{6g{x}_{0}sinθ}}{2}$．
（2）碰撞前彈簧的彈性勢能是$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ．
（3）質(zhì)量為2m的物塊沿斜面向上運動到達的最高點離O點的距離是$\frac{{x}_{0}}{2}$．

點評 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運動過程，把握每個過程的物理規(guī)律，如碰撞的基本規(guī)律：動量守恒定律．物體壓縮彈簧的過程，系統(tǒng)遵守機械能守恒定律，并要找出狀態(tài)之間的聯(lián)系．