Question

3．如圖所示，一質量為m的小球置于半徑為R的光滑豎直軌道最低點A處，B為軌道最高點，C、D為圓的水平直徑兩端點．輕質彈簧的一端固定在圓心O點，另一端與小球栓接，已知彈簧的勁度系數為k=$\frac{mg}{R}$，原長為L=2R，彈簧始終處于彈性限度內，若給小球一水平初速度v₀，已知重力加速度為g，則（　�。�

• A． 無論v₀多大，小球均不會離開圓軌道
• B． 若$\sqrt{2gR}$＜v₀$＜\sqrt{5gR}$，則小球會在B、D間脫離圓軌道
• C． 只要v_o＜$\sqrt{4gR}$，小球就能做完整的圓周運動
• D． 若小球能做完整圓周運動，則v₀越大，小球與軌道間最大壓力與最小壓力之差就會越大

Answer 1

分析 AB、在軌道的任意位置對小球受力分析，比較彈簧的彈力于重力在半徑方向上的分力的大小，即可得知選項AB的正誤．
C、利用機械能守恒定律可解的小球做圓周運動時在最低點的速度，由此可判知選項C的正誤．
D、根據向心力的公式分別列出在最高點和最低點趕到對小球的壓力，結合小球在運動過程中機械能守恒，即可推導出壓力之差的表達式，從而可知選項D的正誤．

解答 解：AB、因彈簧的勁度系數為k=$\frac{mg}{R}$，原長為L=2R，所以小球始終會受到彈簧的彈力作用，大小為F=K（L-R）=KR=mg，方向始終背離圓心，無論小球在CD以上的哪個位置速度為零，重力在沿半徑方向上的分量都小于等于彈簧的彈力（在CD以下，軌道對小球一定有指向圓心的支持力），所以無論v₀多大，小球均不會離開圓軌道，故A正確，B錯誤．
C、小球在運動過程中只有重力做功，彈簧的彈力和軌道的支持力不做功，機械能守恒，當運動到最高點速度為零，在最低點的速度最小，有：
$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$=2mgR，解得：v₀=2$\sqrt{gR}$，所以只要 ${v}_{0}^{\;}$＞2 $\sqrt{gR}$，小球就能做完整的圓周運動，故C錯誤．
D、在最低點時，設小球受到的支持力為N，有：
N-KR-mg=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$解得：N=2mg+m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…①
運動到最高點時受到軌道的支持力最小，設為N′，設此時的速度為v，由機械能守恒有：
$\frac{1}{2}$m ${v}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}$m ${v}_{\;}^{2}$…②
此時合外力提供向心力，有：
N′-KR+mg=m $\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$…③
聯立②③解得：N′=m $\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-4mg…④
聯立①④得壓力差為：△N=6mg，與初速度無關，故D錯誤．
故選：A

點評 該題涉及到的知識點較多，解答中要注意一下幾點：
1、正確的對物體進行受力分析，計算出沿半徑方向上的合外力，利用向心力公式進行列式．
2、注意臨界狀態(tài)的判斷，知道臨界狀態(tài)下受力特點和運動的特點．
3、熟練的判斷機械能守恒的條件，能利用機械能守恒進行列式求解．