Question

20．傾角為37°的足夠長光滑斜面上固定一個(gè)槽，勁度系數(shù)k=20N/m的輕彈簧上端與輕桿相連，下端與一質(zhì)量m=1kg的小車相連，開始時(shí)，彈簧處于原長，輕桿在槽外的長度為l，且桿可在槽內(nèi)移動(dòng)，桿與槽間的最大靜摩擦力大小f=8N，假設(shè)桿與槽之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．現(xiàn)將小車由靜止釋放沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，在小車第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中（已知彈性勢能E_p=$\frac{1}{2}$kx²，式中x為彈簧的形變量．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當(dāng)輕桿開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，小車的速度有多大；
（2）為了使輕桿不被全部拽入槽內(nèi)，求l的最小長度及在此長度下輕桿在槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）輕桿開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧對(duì)其拉力等于桿受到的最大靜摩擦力；根據(jù)胡克定律列式求解彈簧的伸長量；根據(jù)功能關(guān)系列式求解小車的速度；
（2）桿被拉動(dòng)后，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度；此后小車和桿一起是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零后被反向拉回；

解答 解：（1）輕桿開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧對(duì)其拉力等于桿受到的最大靜摩擦力，為：
F=f=8N；
根據(jù)胡克定律，有：
x=$\frac{F}{k}$=$\frac{8}{20}$=0.4m；
根據(jù)功能關(guān)系，有：
mgxsinθ-$\frac{1}{2}k{x}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：
v=0.4$\sqrt{10}$m/s
（2）桿剛滑動(dòng)時(shí)，對(duì)整體由牛頓第二定律得物體的加速度：
mgsin37°-F=ma
解得：
a=-2m/s²
此后小車和桿一起是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零后被反向拉回；
根據(jù)速度位移公式，減速位移為：
x₁=$\frac{{0}^{2}-{v}^{2}}{2a}$=$\frac{0-（0.4\sqrt{10}）^{2}}{2×（-2）}$=0.4m
故桿的長度至少為0.4m；
對(duì)物塊分析得，平衡位置對(duì)應(yīng)的彈簧伸長量為：$△x=\frac{mgsin37°}{k}$=$\frac{1×10×0.6}{20}=0.3m$；
故反向彈回后，球開始在平衡位置附近做簡諧運(yùn)動(dòng)，振幅為0.1m，桿不再移動(dòng)；
故桿滑動(dòng)的時(shí)間：t=$\frac{0-v}{a}$=$\frac{0-0.4\sqrt{10}}{-2}=0.2\sqrt{10}$s，
答：（1）當(dāng)輕桿開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，小車的速度為0.4$\sqrt{10}$m/s；
（2）l的最小長度為0.4m，在此長度下輕桿在槽內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0.2$\sqrt{10}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確小車和桿的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解，結(jié)合簡諧運(yùn)動(dòng)的知識(shí)分析，不難．