Question

今年3月我國(guó)北方地區(qū)遭遇了近10年來(lái)最嚴(yán)重的沙塵暴天氣．現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）．這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力．此阻力可用下式表達(dá)

其中為一系數(shù)，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度．

（1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，，試估算在地面附近，上述的最小值．

（2）假定空氣密度隨高度的變化關(guān)系為，其中為處的空氣密度，為一常量，，試估算當(dāng)時(shí)揚(yáng)沙的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化）

Answer 1

（1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡，即

                                                      ①

式中為沙塵顆粒的質(zhì)量，而

                                         ②

                                      ③

得                                                       ④

代入數(shù)據(jù)得

                                    ⑤

（2）用、分別表示時(shí)揚(yáng)沙到達(dá)的最高處的空氣密度和高度，則有

                                   ⑥

此時(shí)式①應(yīng)為

                                    ⑦

由②、③、⑥、⑦可解得

                               ⑧

代入數(shù)據(jù)得

                                   ⑨

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。

1. 第一小題8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。

2. 第二小題7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。