Question

15．如圖所示，質量為m的小球由光滑斜軌道由靜止下滑后，接著又在一個與斜軌道相連的豎直的光滑圓環(huán)內側運動．圓環(huán)的半徑為R，重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
（1）小球應從多高的地方滑下，才能使小球到達圓環(huán)頂端時對軌道的壓力等于mg；
（2）在滿足（1）的情況下，小球到達圓環(huán)底端時，作用于環(huán)底的壓力；
（3）小球初始高度h滿足什么條件，小球在運動過程中不會脫離軌道．

Answer 1

分析 （1）小球到達圓環(huán)頂端時，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過C點時的速度，再由機械能守恒定律求出開始時的高度．
（2）根據(jù)機械守恒定律可求出小球通過最低點時的速度大小，再根據(jù)牛頓第二定律求出小球到達圓環(huán)底端時，環(huán)底對小球的支持力，再得到小球對環(huán)底的壓力．
（3）小球在運動過程中不會脫離軌道有兩種情況：一種在圓心下方運動．另一種能通過最高點，根據(jù)臨界條件和機械能守恒定律結合求解．

解答 解：（1）小球到達圓環(huán)頂端時，根據(jù)牛頓第二定律有 N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
又 N=mg
從開始到圓環(huán)頂端的過程，由機械能守恒定律有 mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得 h=3R
（2）從開始到圓環(huán)底端的過程，由機械能守恒定律有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在底端，對小球，根據(jù)牛頓第二定律有 N_C-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N_C=7mg
由牛頓第三定律知小球到達圓環(huán)底端時，作用于環(huán)底的壓力 N_C′N_C=7mg
（3）小球恰好運動到圓心等高處時，由機械能守恒有 mgh′=mgR，得 h′=R．
小球恰好運動到圓環(huán)頂端時，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
從開始到圓環(huán)頂端的過程，由機械能守恒定律有 mg（h″-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 h″=2.5R
所以小球初始高度h滿足：h≤R或h≥2.5R時，小球在運動過程中不會脫離軌道．
答：
（1）小球應從3R高的地方滑下，才能使小球到達圓環(huán)頂端時對軌道的壓力等于mg．
（ 2）小球到達圓環(huán)底端時，作用于環(huán)底的壓力是7mg．
（3）小球初始高度h滿足：h≤R或h≥2.5R時，小球在運動過程中不會脫離軌道．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律及牛頓第二定律的直接應用，要求同學們能正確選取運動過程，把握隱含的臨界條件，運用機械能守恒定律求解．