Question

15．實(shí)驗(yàn)用升降機(jī)箱體質(zhì)量為M=55kg，內(nèi)部天花板到地板間距恰好H=6m．某次實(shí)驗(yàn)時(shí)，開動電機(jī)給升降機(jī)箱體恒定的拉力使箱體勻加速上升，加速度大小為$\frac{1}{5}$g，靜止啟動的同時(shí)從天花板處讓一彈性小球自由下落．已知小球質(zhì)量m=5kg，小球和箱體只在豎直方向上運(yùn)動且每次碰撞都是彈性碰撞，碰撞時(shí)間很短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，忽略空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球開始運(yùn)動經(jīng)多長時(shí)間與箱體發(fā)生第一次碰撞？
（2）第一次碰撞結(jié)束時(shí)箱體速度大小和小球的速度大��？
（3）從開始運(yùn)動到第三次碰撞箱體前電機(jī)對箱體做的功？

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞前，小球做自由落體運(yùn)動，箱體做勻加速運(yùn)動，當(dāng)兩者位移這和等于H時(shí)第一次相碰，根據(jù)位移關(guān)系求時(shí)間．
（2）小球和箱體發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列式，可求得第一次碰撞結(jié)束時(shí)箱體速度大小和小球的速度大�。�
（3）用同樣的方法求得小球和箱體第一次碰撞到第二次碰撞的時(shí)間，以及第二次與第三次碰撞經(jīng)過的時(shí)間，求得箱體的總位移，由牛頓第二定律求出電機(jī)對箱體的拉力，從而求得電機(jī)對箱體做的功．

解答 解：（1）設(shè)t時(shí)間第一次相碰，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律得：
h_球=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
h_箱=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
且有：h_球+h_箱=H
解得：t=$\sqrt{\frac{2H}{g+a}}$
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s，h_球=1m
（2）碰撞前小球的速度為 v₁=gt=10m/s（豎直向下）
箱體的速度為 v₂=at=2m/s（豎直向上），設(shè)碰后小球速度為向上的v₁′，箱體速度為向上的v₂′．取向上為正方向，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律得：
 Mv₂-mv₁=mv₁′+Mv₂′
 $\frac{1}{2}$Mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$Mv₂′²．
可得：v₁+v₂=v₁′-v₂′
代入數(shù)據(jù)解得：v₁′=12m/s，v₂′=0
（3）經(jīng)分析小球不會碰箱體天花板．設(shè)經(jīng)時(shí)間t₂第二次碰地板．
則 h₂=v₁′t₂-$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
     h₂=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$ 
解得 t₂=2s，h₂=4m
可得第二次碰前速度小球?yàn)?m/s（向下），箱體為4m/s（向上）
同樣，由碰撞中動量守恒和能量守恒可得：第二次碰后小球速度為v₁″=14m/s（向上），箱體速度為 v₂″=2m/s（向上）．
計(jì)算判斷小球還是不與天花板相撞．
設(shè)經(jīng)時(shí)間t₃第三次碰地板．
則 h₃=v₁″t₃-=$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$
     h₃=v₂″t₃+$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
解得 t₃=2s，h₃=8m
所以第三次碰前箱體上升的總高度為 S=h_箱+h₂+h₃=13m  
對箱體受力分析，有
   F-Mg=Ma
得 F=660N
則電機(jī)對箱體做的功為 W=FS
解得 W=8580J
答：
（1）小球開始運(yùn)動經(jīng)1s長時(shí)間與箱體發(fā)生第一次碰撞．
（2）第一次碰撞結(jié)束時(shí)箱體速度大小和小球的速度大小分別為0和12m/s．
（3）從開始運(yùn)動到第三次碰撞箱體前電機(jī)對箱體做的功是8580J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵之處在于理清小球和箱體的運(yùn)動關(guān)系，把握位移間的位移，知道彈性碰撞遵守兩大守恒定律：動量守恒定律和能量守恒定律，邊計(jì)算邊分析．