Question

11．如圖所示，兩平行金屬導(dǎo)軌軌道MN、M?N?間距為L(zhǎng)，其中MO和M?O?段與金屬桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，ON和O?N?段光滑且足夠長(zhǎng)，兩軌道的交接處由很小的圓弧平滑連接，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，左側(cè)接一阻值為R的電阻和電流傳感器，軌道平面與水平面的夾角分別為α=53°和β=37°．區(qū)域PQP?Q?內(nèi)存在垂直軌道平面向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為d，PP?的高度為h₂=0.3m．現(xiàn)開(kāi)啟電流傳感器，同時(shí)讓質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿ab自高h(yuǎn)₁=1.5m處由靜止釋放，金屬桿與導(dǎo)軌垂直且保持接觸良好，電流傳感器測(cè)得初始一段時(shí)間內(nèi)的I-t（電流與時(shí)間關(guān)系）圖象如圖乙所示（圖中I₀為已知）．求：

（1）金屬桿第一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小v₁（重力加速度為g取10m/s²）；
（2）金屬桿第一次離開(kāi)磁場(chǎng)到第二次離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的時(shí)間間隔△t的大小（此后重力加速度取g）；
（3）電阻R在t₁-t₃時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的總熱能Q_R（用v₁和其他已知條件表示）；
（4）定性畫(huà)出t₄時(shí)刻以后可以出現(xiàn)電流的、且金屬桿又回到OO?的這段時(shí)間內(nèi)可能的I-t關(guān)系圖象．

Answer 1

分析 （1）有動(dòng)能定理求得進(jìn)入時(shí)的速度，
（2）有圖象可知，金屬桿第一次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)刻為t₂，第二次離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的時(shí)刻為t₄，而t₂到t₃金屬棒做勻減速運(yùn)動(dòng)，t₃到t₄金屬棒做勻速運(yùn)動(dòng)，分別利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解即可；
（3）根據(jù)能量守恒定律和串并聯(lián)電路特點(diǎn)，求解熱量
（4）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，確定金屬棒的運(yùn)動(dòng)，定性的畫(huà)出v-t圖象；

解答 解：（1）金屬桿從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到達(dá)pp′位置，由動(dòng)能定理
$mg{h}_{1}-μmg{h}_{1}ctgθ-mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2g（{h}_{1}-{h}_{2}）-2μg{h}_{1}×0.75}$=$\sqrt{15}$m/s
（2）金屬桿第一次出磁場(chǎng)的速度為v₂，由圖線可知，當(dāng)金屬桿中的電流為I₀時(shí)處于平衡狀態(tài)：
由F_A=BI₀L=mgsinβ得$B=\frac{0.6mg}{{I}_{0}L}$
${I}_{0}=\frac{BL{v}_{2}}{R+r}$，解得：v₂=$\frac{{I}_{0}（R+r）}{BL}$=$\frac{5{I}_{0}^{2}（R+r）}{3mg}$
金屬桿第一次出磁場(chǎng)的速度為v₂，加速度a₂=gsinβ，末速度為0，金屬桿做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以看成反向勻加速，由：v=v₀-at
根據(jù)對(duì)稱性得：△t₁=t₃-t₂=$2\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$，
進(jìn)入磁場(chǎng)后，金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)，穿越磁場(chǎng)的時(shí)間△t₂=$\fracd2kbsi2{{v}_{2}}$=$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，
所以時(shí)間△t=△t₁+△t₂=$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$+$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，

（3）電阻R在t₁-t₃時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的總熱能，由能量守恒得；Q=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-mgdsinβ$
由串并聯(lián)電路特點(diǎn)得：Q_R=$\frac{R}{R+r}$（$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²-mgdsinβ）=$\frac{mR（{v}_{1}^{2}-\frac{25{I}_{0}^{4}（{R+r）}^{2}}{9{m}^{2}{g}^{2}}）-1.2mgdR}{2（R+r）}$
（4）①t₄之后，沖上MO斜面之后由于摩擦力作用能量損耗，速度減小，穿過(guò)磁場(chǎng)又在滑下穿過(guò)磁場(chǎng)的情況：

②進(jìn)入磁場(chǎng)為穿越就減速到零返回的情況：

答：（1）金屬桿第一次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小v₁為：$\sqrt{15}m/s$
（2）金屬桿第一次離開(kāi)磁場(chǎng)到第二次離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的時(shí)間間隔△t的大小為：$\frac{50{I}_{0}^{2}（R+r）}{9m{g}^{2}}$+$\frac{3dmg}{5{I}_{0}^{2}（r+R）}$，

（3）電阻R在t₁-t₃時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的總熱能Q_R為$\frac{mR（{v}_{1}^{2}-\frac{25{I}_{0}^{4}（{R+r）}^{2}}{9{m}^{2}{g}^{2}}）-1.2mgdR}{2（R+r）}$；
（4）如圖或

點(diǎn)評(píng) 本題利用能量守恒和牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，難度較大，注意過(guò)程的分界點(diǎn)及過(guò)程之間的聯(lián)系．