Question

15．圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外．O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向．已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L，不計(jì)重力及粒子間的相互作用．
（1）求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑．
（2）求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場的時(shí)間間隔．

Answer 1

分析 （1）粒子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求得半徑；
（2）根據(jù)時(shí)間與轉(zhuǎn)過的角度之間的關(guān)系$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$求得兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場的時(shí)間間隔之差值．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$
（2）如圖所示，以O(shè)P為弦可畫兩個(gè)半徑半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌道，圓心和直徑分別為O₁、O₂和OO₁Q₁、OO₂Q₂，在O處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角．由幾何關(guān)系可知：∠PO₁Q₁=∠PO₂Q₂=θ
從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半個(gè)圓周加弧長Q₁P
Q₁P=Rθ
粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長PQ₂
PQ₂=Rθ
粒子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_1}=\frac{1}{2}T+\frac{Rθ}{v}$
粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_2}=\frac{1}{2}T-\frac{Rθ}{v}$
兩粒子射入的時(shí)間間隔：$△t={t_1}-{t_2}=2\frac{Rθ}{v}$
因$Rcos\frac{1}{2}θ=\frac{1}{2}L$
得$θ=2arccos\frac{L}{2R}$
解得：$△t=\frac{4m}{qB}arccos（\frac{LqB}{2mv}）$
答：（1）所考察的粒子在磁場中的軌道半徑是$\frac{mv}{qB}$．
（2）這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場的時(shí)間間隔是$\frac{4m}{qB}arc•cos（\frac{LqB}{2mv}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是明確洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解出半徑，然后結(jié)合幾何關(guān)系列式求解，屬于帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)題型．