Question

14．如圖所示是一個設(shè)計“過山車”的試驗裝置的原理示意圖，光滑斜面AB與豎直面內(nèi)的圓形軌道在B點平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個質(zhì)量為m的小車（可視為質(zhì)點）在A點由靜止釋放沿斜面滑下，當它第一次經(jīng)過B點進入圓形軌道時對軌道的壓力為其重力的8倍，且小車恰能完成圓周運動并第二次經(jīng)過最低點沿水平軌道向右運動．已知重力加速度為g．
（1）求A點距水平面的高度h；
（2）假設(shè)小車在豎直圓軌道左半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功是它在右半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功的$\frac{3}{4}$，求小車第二次經(jīng)過豎直圓軌道最低點時對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）設(shè)第一次小車運動到B點的速度大小為v_B，根據(jù)牛頓第二定律及牛頓第三定律求出B點速度，小車從A點運動到B點的過程機械能守恒，以B點位置為重力勢能零點，求出高度；
（2）設(shè)小車在圓軌道最高點的速度為v_C，重力提供向心力，此時根據(jù)向心力公式求出C點速度，設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對小車從B點運動到C的點過程，根據(jù)動能定理求出W_f，對小車從B點運動到C點再回到B點的過程，根據(jù)動能定理與牛頓第二定律可以求出壓力．

解答 解：（1）設(shè)第一次小車運動到B點的速度大小為v_B，受到的支持力為N，
根據(jù)牛頓第二定律：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
依題意和牛頓第三定律可知：N=8mg，
小車從A點運動到B點的過程機械能守恒，以B點位置為重力勢能零點，
則有：mgh=$\frac{1}{2}$mv_B²，解得：h=$\frac{7}{2}$R；
（2）設(shè)小車在圓軌道最高點的速度為v_C，重力提供向心力，
此時根據(jù)向心力公式有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_c=$\sqrt{gR}$，
設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對小車從B點運動到C的點過程，根據(jù)動能定理有
-mg2R-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
設(shè)小車第二次經(jīng)過B點時的速度為v′，對小車從B點運動到C點再回到B點的過程，根據(jù)動能定理有：
mg•2R-$\frac{3}{4}$W_f=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
小車第二次到達B點時，由牛頓第二定律得：
N′-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，解得：N′=$\frac{9}{2}$mg，
由牛頓第三定律可知，小車對軌道的壓力為：$\frac{9}{2}$mg；
答：（1）A點距水平面的高度h為$\frac{7}{2}$R；
（2）小車第二次經(jīng)過豎直圓軌道最低點時對軌道的壓力為$\frac{9}{2}$mg．

點評 涉及力在空間的效應(yīng)，要優(yōu)先考慮動能定理．對于圓周運動，涉及力的問題，往往根據(jù)向心力進行分析處理．難度適中．