Question

6．一質(zhì)量M=2m、長為L的長木板固定在水平地面上，一質(zhì)量為m的小滑塊以水平速度v₀從長木板的一端開始在木板上滑動，最終恰好離開木板．
（1）試求小滑塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ．
（2）若把該長木板靜止放在光滑水平地面上，則小滑塊至少要以多大的初速度v從長木板的一端開始在長木板上滑動，才能離開長木板．

Answer 1

分析 （1）以物塊作為研究對象，對物塊進(jìn)行受力分析，對物塊應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)規(guī)律解決；
（2）分別對木板和物塊進(jìn)行受力分析，對木板和物塊分別應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)規(guī)律，最后利用滑離木板的臨界條件，找到二者位移滿足的關(guān)系，即：共速時(shí)，二者相對位移等于木板長度，由此求解初速度的最小值．

解答 解：（1）設(shè)摩擦力大小為f，支持力大小為F_N，重力加速大小為g，小物塊的加速度為a₁
 小物塊受力情況如圖所示，
在豎直方向小滑塊受力平衡：mg=F_N
根據(jù)滑動摩擦公式：f=μF_N
在水平方向?qū)π∥飰K運(yùn)用牛頓第二定律：f=ma₁ 
在水平方向?qū)π∥飰K運(yùn)用運(yùn)動學(xué)規(guī)律：-2a₁L=0-v₀²
聯(lián)立以上各式可得：μ=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）離開長木板的條件是恰好共速時(shí)離開木板．畫出運(yùn)動過程圖如圖所示，
設(shè)開始運(yùn)動到共速，物塊的位移為x₁，木板的位移為x₂，木板受摩擦力為f′，最終二者共同的速度為v_共，從開始運(yùn)動到共速的時(shí)間為t
 小物塊做勻減速直線運(yùn)動，木板做勻加速直線運(yùn)動
小物塊受力情況與（1）相同，所以此過程小物塊加速度的大小仍為a₁=μg①
對木板受力分析，水平方向?qū)ζ溥\(yùn)用牛頓第二定律：f′=Ma₂  
牛頓第三定律得：f′=f，可求a₂=$\frac{1}{2}$μg②
對木板和小物塊分別運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動，木板：v_共=a₂t ③小物塊：v_共=v-a₁t ④
由①②③④式聯(lián)立可得：v_共=$\frac{1}{3}$v⑤
對木板和小物塊分別運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動，木板：2a₂x₂=v_共²⑥小物塊：-2a₁x₁=v_共²-v²⑦
小物塊恰好離開長木板時(shí)滿足：x₁-x₂=L⑧
第一問結(jié)果與①②⑤⑥⑦⑧式聯(lián)立得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$．
答：（1）小滑塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2gL}$；
（2）若把該長木板靜止放在光滑水平地面上，則小滑塊至少要以初速度$\frac{\sqrt{6}}{2}{v}_{0}$從長木板的一端開始在長木板上滑動，才能離開長木板．

點(diǎn)評 對于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動學(xué)的橋梁；此題難度不大，牢記離開木板的臨界條件；第二問也可以用動量守恒定律結(jié)合動能定理的整體法去解決．