Question

19．如圖所示（俯視），在豎直磁場中，磁感應強度B沿y軸方向分布均勻，而沿x軸方向是變化的，且滿足B=ax．將電阻不計，間距為L，足夠長的平行光滑金屬導軌水平固定于該磁場中，右端接一定值電阻R；另有電阻為r的導體棒PQ垂直橫跨于導軌上，且始終與導軌接觸良好．

（1）若導體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度v_t=$\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運動，求定值電阻R中電流的表達式；
（2）若導體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運動，為了維持導體棒勻速運動，需要加一個水平拉力F于棒的中點，求t時刻水平拉力F的大小．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律求得電動勢，再根據歐姆定律求得電流；
（2）由安培定則求得安培力，再根據受力平衡得到拉力F．

解答 解：（1）導體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運動時，
任意時刻的感應電動勢的瞬時值$e=BL{v}_{t}=axL×\frac{{v}_{0}}{x}=aL{v}_{0}$，
根據閉合電路的歐姆定律可得，定值電阻R中的電流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）在時間t內，導體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運動，所以導體棒PQ的位移x=v₀t，
導體棒PQ所在位置的磁感應強度B=ax=av₀t，
由法拉第電磁感應定律求得電動勢的瞬時值$e=BL{v}_{t}=a{v}_{0}t×L×{v}_{0}=aL{{v}_{0}}^{2}t$，
感應電流的瞬時值$i=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}$，
所以，安培力${F}_{安}=BiL=a{v}_{0}t×\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}×L=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$
對導體棒進行受力分析，可知其在水平方向只受安培力和拉力，又有導體棒向右做勻速運動，
所以，由受力平衡可得：$F={F}_{安}=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．
答：（1）導體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運動，定值電阻R中電流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）導體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運動，t時刻水平拉力$F=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．

點評 注意第二問最終F要用時間t來表示，不能用x表示．即求解的最終結果必須由題目中給出條件表示．