Question

7．如圖所示，相距為d的兩水平線L₁和L₂分別是水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，正方形線框abcd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)（L＜d）、質(zhì)量為m，電阻為R．將線框在磁場(chǎng)上方高h(yuǎn)處由靜止釋放，ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度恰好相等．則在線框全部穿過磁場(chǎng)的過程中（　　）

• A． ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)ab兩端的電勢(shì)差為 BL$\sqrt{2gh}$
• B． 感應(yīng)電流所做功為mgd
• C． 感應(yīng)電流所做功為2mgd
• D． 線框最小速度為$\sqrt{2g（h+L-d）}$

Answer 1

分析 先求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再求路端電壓；由進(jìn)入和離開磁場(chǎng)的狀態(tài)相同，得到做功的大小；由做功情況得到動(dòng)能最小的時(shí)間，再利用動(dòng)能定理求得這一時(shí)刻的速度．

解答 解：A、將線框在磁場(chǎng)上方高h(yuǎn)處由靜止釋放，ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，有$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{v}^{2}}{2g}$，線框的速度$v=\sqrt{2gh}$，ab邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$e=BLv=BL\sqrt{2gh}$，ab兩端的電勢(shì)差為路端電壓$U=\frac{3}{4}e=\frac{3}{4}BL\sqrt{2gh}$，故A錯(cuò)誤；
BC、在線框全部穿過磁場(chǎng)的過程中，線框只受重力和安培力．
又有ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度恰好相等，則根據(jù)動(dòng)能定理可得：線框進(jìn)入磁場(chǎng)感應(yīng)電流所做的負(fù)功大小等于線框下降d重力所做的功，
所以，線框進(jìn)入磁場(chǎng)感應(yīng)電流所做的負(fù)功大小等于mgd；
ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度恰好相等，其產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也相等，感應(yīng)電流也相等，所以安培力也相等，即兩狀態(tài)線框的受力完全相同，初速度也相同，所以，線框穿出磁場(chǎng)和進(jìn)入磁場(chǎng)兩過程感應(yīng)電流所做的功相等，所以，在線框全部穿過磁場(chǎng)的過程中，感應(yīng)電流所做的功為2mgd，故B錯(cuò)誤，C正確；
D、線框進(jìn)入磁場(chǎng)感應(yīng)電流所做的負(fù)功大小等于mgd，L＜d，即線框在進(jìn)入磁場(chǎng)過程中一直在減速；完全進(jìn)入磁場(chǎng)后只受重力，加速下落；穿出磁場(chǎng)時(shí)，又減速下落；
因?yàn)閍b邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度恰好相等，線框穿出磁場(chǎng)和進(jìn)入磁場(chǎng)兩過程感應(yīng)電流所做的功相等，所以，線框速度最小時(shí)為線框剛剛完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，
由動(dòng)能定理可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（h+L）-mgd=mg（h+L-d）$，所以，$v=\sqrt{2g（h+L-d）}$，故D正確．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 注意電源兩頭之間的電勢(shì)差為路端電壓，在導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況中，尤其要注意，一般導(dǎo)體棒的電阻并不為零，路端電壓不等于電動(dòng)勢(shì)．