Question

5．一光滑圓錐體固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一條不計(jì)質(zhì)量，長(zhǎng)為l（l＜OA）的細(xì)繩一端固定在頂點(diǎn)O，另一端拴一質(zhì)量為m的物體（看作質(zhì)點(diǎn)）．物體以速度v繞圓錐體的軸OC在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．求：
（1）當(dāng)物體剛好不壓圓錐體時(shí)線速度v0；
（2）當(dāng)物體線速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$時(shí)，分別求出繩和圓錐體對(duì)物體的作用力；
（3）當(dāng)物體線速度 v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$時(shí)，分別求出繩和圓錐體對(duì)物體的作用力．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開(kāi)錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力

解答 解：（1）當(dāng)物體剛好不壓圓錐體時(shí)，受力如圖：

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有mgtan30°=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{lsin30°}$
得v₀=$\sqrt{gltan30°sin30°}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}gl}$
（2）當(dāng)物體線速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$＜v₀，所以物體仍與圓錐面接觸，受力如圖：

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：
y方向：Tcos30_°+Nsin30°-mg=0
x方向：Tsin30°-Ncos30°=m$\frac{{v}^{2}}{lsin30°}$
解得T=（$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）mg
    N=（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$）mg
（3）當(dāng)v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$＞v₀，小球已經(jīng)飛離斜面，所以圓錐體對(duì)物體的作用力為0  
設(shè)繩與水平方向夾角為θ，

提供的向心力　F=$\frac{mg}{tanθ}$　　　　　
所需的向心力F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中r=lcosθ
所以F=$\frac{mg}{tanθ}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
化簡(jiǎn)得sin²θ$+\frac{3}{2}$sinθ-1=0　　
解得　 θ=30°
所以拉力T=2mg　
答：（1）當(dāng)物體剛好不壓圓錐體時(shí)線速度v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}gl}$；
（2）當(dāng)物體線速度v=$\sqrt{\frac{1}{6}gl}$時(shí)，繩和圓錐體對(duì)物體的作用力分別為（$\frac{1}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）mg、（$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$）mg；
（3）當(dāng)物體線速度 v=$\sqrt{\frac{3}{2}gl}$時(shí)，繩和圓錐體對(duì)物體的作用力分別為2mg、0

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運(yùn)用牛頓第二定律求解．