Question

18．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們兩線上的某一固定點分別作勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星間的距離為r，請推算出兩顆恒星總質(zhì)量．（引力常量為G）

Answer 1

分析 這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．

解答 解：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運動的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為ω₁，ω₂．根據(jù)題意有
ω₁=ω₂①
r₁+r₂=r②
根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有
$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}{ω}_{1}^{2}$    ③
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}={m}_{2}{r}_{2}{ω}_{2}^{2}$   ④
聯(lián)立以上各式解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$      ⑤
根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知${ω}_{1}={ω}_{2}=\frac{2π}{T}$   ⑥
聯(lián)立③⑤⑥式解得
${m}_{1}+{m}_{2}=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$   ⑦
答：這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$

點評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．