Question

6．據(jù)報(bào)道，美國(guó)國(guó)家航天航天局（NASA）首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T，宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t．已知該行星半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$
• C． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\sqrt{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$
• D． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出行星表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出行星的質(zhì)量，結(jié)合密度公式求出行星的平均密度；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出行星同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星距離行星的高度．根據(jù)重力提供向心力求出宇宙飛船的最小周期．

解答 解：A、根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$得，行星表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，根據(jù)$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A正確；
B、根據(jù)$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得，行星的質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，則行星的平均密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}=\frac{3h}{2GπR{t}_{\;}^{2}}$，故B正確；
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$得，又$GM=g{R}_{\;}^{2}$，解得$h=\root{3}{\frac{h{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}}-R$，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)$mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$得，最小周期$T′=πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，那么飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．