Question

5．磁懸浮列車的模擬裝置如圖所示，在水平面上，兩根平行直導(dǎo)軌上有一正方形金屬框abcd，導(dǎo)軌間有豎直方向且等距離（跟ab邊的長度相等）的勻強(qiáng)磁場B₁和B₂．當(dāng)勻強(qiáng)磁場B₁和B₂同時以速度v沿直導(dǎo)軌向右運(yùn)動時，金屬框也會沿直導(dǎo)軌運(yùn)動．設(shè)直導(dǎo)軌間距為L=0.50m，B₁=B₂=1.0T，磁場運(yùn)動的速度為v=5.0m/s．金屬框的質(zhì)量m=0.10kg，電阻R=2.0Ω．
（1）若金屬框不受阻力作用，試用v-t圖定性描述金屬框的運(yùn)動；
（2）若金屬框受到f=lN的阻力作用時，金屬框運(yùn)動的最大速度是多大？
（3）若金屬框仍受到f=lN的阻力作用．而磁場改為以a=2m/s²的加速度作初速為0的勻加速運(yùn)動，當(dāng)金屬框也達(dá)到勻加速運(yùn)動狀態(tài)時，金屬框中的電功率為多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)磁場運(yùn)動時，金屬框相對于磁場運(yùn)動，切割產(chǎn)生感應(yīng)電流，產(chǎn)生安培力而運(yùn)動．
（2）當(dāng)金屬框所受的安培力等于阻力時，速度最大，在求解感應(yīng)電動勢時，速度為金屬框相對于磁場的速度．
（3）磁場勻加速運(yùn)動，要使金屬框也勻加速運(yùn)動可見金屬框與磁場的速度差為一定值，故兩者加速度相同，據(jù)此分析計算金屬框中的電功率為多大即可．

解答 解：（1）金屬框做加速度越來越小的變加速運(yùn)動，因磁場運(yùn)動時，框與磁場有相對運(yùn)動，ad、bc邊切割磁感線，框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，同時受安培力，方向水平向右，故使線框向右加速運(yùn)動，隨著金屬框速度的增加，框與磁場間相對運(yùn)動的速度越來越小，框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流越來越小，安培力也越來越小，加速度越來越小，故金屬框做加速度越來越小的變加速運(yùn)動，v-t圖象如下圖所示：

（2）金屬框受到安培力與阻力作用下做加速運(yùn)動，當(dāng)安培力與阻力平衡時，金屬框的速度最大
所以有：f=2BIL
又I=$\frac{E}{R}=\frac{2BL（v-{v}_{m}）}{R}$
所以有：f=$\frac{2B•2BL（v-{v}_{m}）}{R}L$
所以可得：${v}_{m}=v-\frac{fR}{4{B}^{2}{L}^{2}}=5-\frac{1×2}{4×{1}^{2}×0．{5}^{2}}m/s=3m/s$
（3）對于金屬框有，所受安培力為：
${F}_{安}=2BIL=\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
根據(jù)牛頓第二定律有：
F_安-f=4$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}-f=m{a}_{2}$
金屬框要做勻加速運(yùn)動，必有v₁-v₂為定值，
所以金屬框運(yùn)動的加速度與磁場運(yùn)動的加速度相同，即a₂=a₁
所以有：v₁-v₂=$\frac{（f+ma）R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
所以此時電路中的電功率為：
P=EI=$\frac{{E}^{2}}{R}=\frac{[2BL（{v}_{1}-{v}_{2}）]^{2}}{R}$=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{R}$=$\frac{\frac{（f+ma）^{2}{R}^{2}}{4{B}^{2}{L}^{2}}}{R}=\frac{（1+0.1×2）^{2×2}}{4×{1}^{2}×0．{5}^{2}}W=2.88W$
答：（1）圖象解答所示；
（2）若金屬框受到f=lN的阻力作用時，金屬框運(yùn)動的最大速度是3m/s；
（3）若金屬框仍受到f=lN的阻力作用．而磁場改為以a=2m/s²的加速度作初速為0的勻加速運(yùn)動，當(dāng)金屬框也達(dá)到勻加速運(yùn)動狀態(tài)時，金屬框中的電功率為2.88W．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道金屬框相對于磁場運(yùn)動，產(chǎn)生感應(yīng)電流，產(chǎn)生安培力作用，結(jié)合共點(diǎn)力平衡和能量守恒定律進(jìn)行求解