Question

13．如圖1所示的裝置是由加速器、電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器和磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器構(gòu)成．加速器兩板a、b間加圖2所示變化電壓u_ab，水平放置的電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器兩板間加恒定電壓U₀，極板長(zhǎng)度為l，板間距離為d，磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器中分布著垂直紙面向里的左右有界、上下無(wú)界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁場(chǎng)的寬度為D．許多質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從靜止開(kāi)始，經(jīng)過(guò)加速器加速后從與電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器上板距離為$\frac{2d}{3}$的位置水平射入．已知：U₀=1000V，B=$\frac{\sqrt{3}}{6}$T，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=8×10⁷C/kg，粒子在加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)間遠(yuǎn)小于U_ab的周期，粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿豎直方向的位移為y，速度方向與水平方向的夾角為θ，y與tanθ的關(guān)系圖象如圖3所示．不考慮粒子受到的重力．
（1）求電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器極板間距離d和極板長(zhǎng)度l；
（2）為使從電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器下極板邊緣飛出的粒子不從磁場(chǎng)區(qū)域右側(cè)飛出，求磁場(chǎng)寬度D的最小值，并求出該粒子在兩個(gè)偏轉(zhuǎn)器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）求ab的一個(gè)周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t與不能進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間t之比．

Answer 1

分析 （1）對(duì)在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程，粒子向下偏轉(zhuǎn)，做類似平拋運(yùn)動(dòng)，速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，根據(jù)該推論并結(jié)合圖2可以得到電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器極板間距離d和極板長(zhǎng)度l；
（2）對(duì)于類似平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解初速度和末速度，還可以得到末速度方向；考慮磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界情況，即軌跡恰好與磁場(chǎng)右側(cè)邊緣相切，先根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系得到磁場(chǎng)區(qū)域的最小寬度；
（3）為使粒子能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，粒子的速度應(yīng)該大于第二問(wèn)求出的v₀，對(duì)加速過(guò)程，結(jié)合動(dòng)能定理列式求解出臨界加速電壓，再結(jié)合圖2分析即可．

解答 解：（1）由圖3可知，當(dāng)tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（θ=30°）時(shí)，對(duì)應(yīng)粒子恰好從下板邊緣飛出進(jìn)入磁場(chǎng)，即：
$\fracemkloxt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：
d=$\sqrt{3}$cm
對(duì)能夠飛出電場(chǎng)的粒子，速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，故：
tanθ=2tanα=2×$\frac{y}{l}$
代入數(shù)據(jù)可的：
l=2cm
（2）設(shè)從下極板邊緣飛出的粒子進(jìn)入電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器時(shí)的速度為v₀，進(jìn)入磁場(chǎng)后恰好不從磁場(chǎng)右側(cè)飛出，此時(shí)磁場(chǎng)寬度為D₀
根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式，有：
y=$\fracf77btlu{3}$=$\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}}{md}{t}^{2}$
x=l=v₀t
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：
v₀=4×10⁵m/s
離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度：
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4×1{0}^{5}m/s}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$×10⁵m/s
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v，半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有：

qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
D₀=R+Rsin30°
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：D=0.03m
該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=$\frac{2πm}{qB}$
代入數(shù)據(jù)得：
t=$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s
（3）對(duì)恰好能夠從下板邊緣飛出的粒子，設(shè)它進(jìn)入加速電場(chǎng)時(shí)加速電壓為U，由（2）問(wèn)得：v₀=4×10⁵m/s
對(duì)加速過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：U=1000V
為使粒子能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，則必須加速電壓U≥1000V
由圖可知，進(jìn)入時(shí)刻t應(yīng)滿足：
（0.2n+0.06）s≤t≤（0.2n+0.14）s（n=0，1，2，…）
即在一個(gè)周期的0.2s內(nèi)，能夠進(jìn)入的時(shí)間為0.08s，不能進(jìn)入的時(shí)間為0.12s，故一個(gè)周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間與不能進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間之比為2：3．
答：（1）電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器極板間距離d為$\sqrt{3}$cm，極板長(zhǎng)度l為2cm；
（2）為使從電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)器下極板邊緣飛出的粒子不從磁場(chǎng)區(qū)域右側(cè)飛出，磁場(chǎng)寬度D的最小值為0.03m，該粒子在兩個(gè)偏轉(zhuǎn)器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s；
（3）ab的一個(gè)周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t與不能進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間t之比為2：3．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中的加速通常用動(dòng)能定理處理，在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)通常運(yùn)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)與邊界相切是經(jīng)常考查的臨界情況．