Question

13．如圖1所示的裝置是由加速器、電場偏轉(zhuǎn)器和磁場偏轉(zhuǎn)器構(gòu)成．加速器兩板a、b間加圖2所示變化電壓u_ab，水平放置的電場偏轉(zhuǎn)器兩板間加恒定電壓U₀，極板長度為l，板間距離為d，磁場偏轉(zhuǎn)器中分布著垂直紙面向里的左右有界、上下無界的勻強(qiáng)磁場B，磁場的寬度為D．許多質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從靜止開始，經(jīng)過加速器加速后從與電場偏轉(zhuǎn)器上板距離為$\frac{2d}{3}$的位置水平射入．已知：U₀=1000V，B=$\frac{\sqrt{3}}{6}$T，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=8×10⁷C/kg，粒子在加速器中運動時間遠(yuǎn)小于U_ab的周期，粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后沿豎直方向的位移為y，速度方向與水平方向的夾角為θ，y與tanθ的關(guān)系圖象如圖3所示．不考慮粒子受到的重力．
（1）求電場偏轉(zhuǎn)器極板間距離d和極板長度l；
（2）為使從電場偏轉(zhuǎn)器下極板邊緣飛出的粒子不從磁場區(qū)域右側(cè)飛出，求磁場寬度D的最小值，并求出該粒子在兩個偏轉(zhuǎn)器中運動的總時間；
（3）求ab的一個周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的時間t與不能進(jìn)入磁場的時間t之比．

Answer 1

分析 （1）對在偏轉(zhuǎn)電場的過程，粒子向下偏轉(zhuǎn)，做類似平拋運動，速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，根據(jù)該推論并結(jié)合圖2可以得到電場偏轉(zhuǎn)器極板間距離d和極板長度l；
（2）對于類似平拋運動過程，根據(jù)分運動公式列式求解初速度和末速度，還可以得到末速度方向；考慮磁場中運動的臨界情況，即軌跡恰好與磁場右側(cè)邊緣相切，先根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系得到磁場區(qū)域的最小寬度；
（3）為使粒子能夠進(jìn)入磁場區(qū)域，粒子的速度應(yīng)該大于第二問求出的v₀，對加速過程，結(jié)合動能定理列式求解出臨界加速電壓，再結(jié)合圖2分析即可．

解答 解：（1）由圖3可知，當(dāng)tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（θ=30°）時，對應(yīng)粒子恰好從下板邊緣飛出進(jìn)入磁場，即：
$\fraczffhv5t{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：
d=$\sqrt{3}$cm
對能夠飛出電場的粒子，速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，故：
tanθ=2tanα=2×$\frac{y}{l}$
代入數(shù)據(jù)可的：
l=2cm
（2）設(shè)從下極板邊緣飛出的粒子進(jìn)入電場偏轉(zhuǎn)器時的速度為v₀，進(jìn)入磁場后恰好不從磁場右側(cè)飛出，此時磁場寬度為D₀
根據(jù)類似平拋運動的分運動公式，有：
y=$\fracbrz5pfd{3}$=$\frac{1}{2}\frac{q{U}_{0}}{md}{t}^{2}$
x=l=v₀t
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：
v₀=4×10⁵m/s
離開偏轉(zhuǎn)電場的速度：
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4×1{0}^{5}m/s}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$×10⁵m/s
設(shè)粒子在磁場中運動的速度為v，半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有：

qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
D₀=R+Rsin30°
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：D=0.03m
該粒子在磁場中運動周期T=$\frac{2πm}{qB}$
代入數(shù)據(jù)得：
t=$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s
（3）對恰好能夠從下板邊緣飛出的粒子，設(shè)它進(jìn)入加速電場時加速電壓為U，由（2）問得：v₀=4×10⁵m/s
對加速過程，根據(jù)動能定理，有：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：U=1000V
為使粒子能夠進(jìn)入磁場區(qū)域，則必須加速電壓U≥1000V
由圖可知，進(jìn)入時刻t應(yīng)滿足：
（0.2n+0.06）s≤t≤（0.2n+0.14）s（n=0，1，2，…）
即在一個周期的0.2s內(nèi)，能夠進(jìn)入的時間為0.08s，不能進(jìn)入的時間為0.12s，故一個周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的時間與不能進(jìn)入磁場的時間之比為2：3．
答：（1）電場偏轉(zhuǎn)器極板間距離d為$\sqrt{3}$cm，極板長度l為2cm；
（2）為使從電場偏轉(zhuǎn)器下極板邊緣飛出的粒子不從磁場區(qū)域右側(cè)飛出，磁場寬度D的最小值為0.03m，該粒子在兩個偏轉(zhuǎn)器中運動的總時間$\frac{2\sqrt{3}π+3}{6}$×10^-2s；
（3）ab的一個周期內(nèi)能夠進(jìn)入磁場區(qū)域的時間t與不能進(jìn)入磁場的時間t之比為2：3．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場的運動，在電場中的加速通常用動能定理處理，在電場中的偏轉(zhuǎn)通常運用類平拋運動規(guī)律，在磁場中圓周運動時與邊界相切是經(jīng)�？疾榈呐R界情況．