Question

20．圖是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動的金屬圓環(huán)相連接，金屬圓環(huán)又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路．如圖是主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用它們的橫截面來表示．已知ab長度為L₁，be長度為L₂，線圈以恒定角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動．（只考慮單匝線圈） 
（1）線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導(dǎo)t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e₁的表達(dá)式；
（2）線圈平面處于與中性面成垂直時開始計時，如圖所示，試寫出感應(yīng)電動勢e₂的表達(dá)式：
（3）若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．（其他電阻均不計）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動過程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉(zhuǎn)動線速度，根據(jù)E=BLv，求出導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，從而寫出瞬時表達(dá)式；
（2）若從與中性面垂直位置開始計時，則應(yīng)為余弦表達(dá)式；
（3）先求出平均電動勢，根據(jù)歐姆定律求出平均電流，根據(jù)Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）電動勢的峰值為：E_m=NBSω=NBL₁L₂ω，
θ=ωt，
則t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e₁表達(dá)式玩兒：e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）若從與中性面垂直位置開始計時，則瞬時表達(dá)式為：
e₂=NBL₁L₂ωcosωt．
（3）由閉合電路歐姆定律可知：I=$\frac{E}{R+r}$，
這里的E為線圈產(chǎn)生的電動勢的有效值為：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{B{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$，
則線圈轉(zhuǎn)動一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱為：${Q}_{R}={I}^{2}RT$，
其中$T=\frac{2π}{ω}$，
所以：Q=$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．
答：（1）t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e₁表達(dá)式為e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）t時刻整個線圈中的感應(yīng)電動勢e₂的表達(dá)式e₂=BL₁L₂ωcosωt
（3）線圈每轉(zhuǎn)動一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．

點評 當(dāng)線圈與磁場相平行時，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢最大．求電荷量時，運(yùn)用交流電的平均值，求產(chǎn)生的熱能時，用交流電的有效值．