Question

18．做特技表演的小汽車速度足夠大時，會在駛過拱橋的頂端時直接水平飛出．為了探討這個問題，小名等同學做了如下研究：如圖所示，在水平地面上固定放置球心為O、半徑為R的光滑半球，在半球頂端B的上方，固定連接一個傾角θ=30°的光滑斜面軌道，斜面頂端A離B的高度$\frac{R}{2}$，斜面的末端通過技術處理后與半球頂端B水平相接．小明由A點靜止滑下并落到地面上（有保護墊）．甲、乙兩位同學對小明的運動有不同的看法，甲同學認為小明將沿半球表面做一段圓周運動后落至地面，乙同學則認為小明將從B點開始平拋運動落至地面．
（為化簡問題可將小明視為質點，忽略連接處的能量損失）
（1）請你通過相關物理量的計算，判斷上述哪位同學的觀點正確；
（2）若軌道的動摩擦因數μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，欲使小明從A點開始沿斜面下滑后能夠從半球頂端B水平飛出，求小明開始下滑時應具有的最小初速度v₀的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒條件的判定與定律內容，結合牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據小明恰好能從B點開始做平拋運動落地，可求出B點速度，再由動能定理與平拋運動處理規(guī)律，即可求解．

解答 解：（1）設小明滑到B點時速度為v_B，根據機械能守恒定律得：
  mg$•\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
在B點，由牛頓第二定律：mg-N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得在B點半球對小明的支持力：N=0
可見乙同學的觀點正確．
（2）由（1）可知小明恰好能從B點開始做平拋運動落地，
須有：v_B=$\sqrt{gR}$
則小明在斜面軌道下滑的過程中，由動能定理有：
 mg$•\frac{R}{2}$-μmgcosθ$•\frac{\frac{R}{2}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
將v_B代入數據解得：v₀=$\frac{\sqrt{6gR}}{2}$
答：
（1）乙同學的觀點正確．
（2）小明開始下滑時應具有的最小初速度v₀的大小為$\frac{\sqrt{6gR}}{2}$

點評 考查機械能守恒條件的判定與內容的應用，掌握動能定理的運用，注意功的正負值，同時掌握牛頓第二定律與運動學公式的綜合運用，及理解平拋運動的處理方法．