Question

11．在xOy坐標系內(nèi)有一圓心角為30°的扇面MON，之外分布著垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，如圖所示．一質量為m、帶電量為-q的粒子，自圓心O點沿y軸負方向以速度v₀射入磁場，粒子能兩次經(jīng)過邊界OM，不計粒子重力．求：
（1）求粒子從O點射入到第二次穿過邊界OM運動的總時間；
（2）求圓形磁場區(qū)域的最小半徑；
（3）現(xiàn)保持其他條件不變而將∠MON變?yōu)?0°，圓形區(qū)域改為無限大，求粒子從O點射入到射出磁場過程中穿越磁場邊界的總次數(shù)．

Answer 1

分析 由題意畫出運動軌跡圖，并由幾何關系來確定兩段圓弧的圓心角及各線段長；由周期公式來計算各段時間；由切點處作出兩圓半徑關系，并求解；尋找每次旋轉后角度變化規(guī)律來求總次數(shù)；

解答 解：（1）粒子在磁場中運動情況如圖所示

由幾何關系知，oa段圓心角α=120°，時間t₁=$\frac{120°}{360°}T$，又$T=\frac{2πm}{qB}$，得${t}_{1}=\frac{2πm}{3qB}$；
在空白區(qū)的運動時間${t}_{2}=\frac{ab}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}R}{{v}_{0}}$，其中R即粒子旋轉的半徑；
又$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$，得${t}_{2}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$；
再次進入磁場后運動圓心角由幾何關系可知θ=300°，
運動時間${t}_{3}=\frac{300°}{360°}T=\frac{5πm}{3qB}$，
故總時間為t=t₁+t₂+t₃=$（\frac{7}{3}π+\sqrt{3}）\frac{m}{qB}$；
（2）如圖所示當圓弧bcd與大圓相切時，大圓半徑r最小，
由幾何關系知，此時r=fc+fo=R+$\sqrt{e{f}^{2}+e{o}^{2}}$
又由幾何關系知∠bfd=60°，∠bfe=30°，
則ef=$\sqrt{3}R$，eo=bo-be=3R-$\frac{1}{2}$R=$\frac{5}{2}R$；
可得r=R+$\sqrt{（\frac{5R}{2}）^{2}+（\sqrt{3}R）^{2}}=（\sqrt{7}+1）\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（3）∠MON變?yōu)?0°，首次從ON邊界向下穿出時與之夾角為80°，首次向上穿出OM時與之夾角為70°，
每次從邊界向扇面區(qū)穿出，均比上次夾角減小10°，直到向上穿出時，
與OM夾角為10°，不再進入磁場，故穿越邊界的次數(shù)為15次．
答：（1）粒子從O點射入到第二次穿過邊界OM運動的總時間為$（\frac{7π}{3}+\sqrt{3}）\frac{m}{qB}$；
   （2）求圓形磁場區(qū)域的最小半徑為$（\sqrt{7}+1）\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
    （3）粒子從O點射入到射出磁場過程中穿越磁場邊界的總次數(shù)為15次．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，難度較大，過程復雜，關鍵在于用運動軌跡圖來尋找?guī)缀侮P系，確定長度及角度，將復雜運動形成規(guī)律進行簡化解決．