Question

在如圖所示的空間坐標(biāo)系中，y軸的左邊有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，場(chǎng)強(qiáng)方向跟y軸負(fù)向成30°，y的右邊有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一質(zhì)子，以一定的初速度v₀，在x 軸上坐標(biāo)為x₀=10cm處的A點(diǎn)，第一次沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，第二次沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，回旋后都垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)，最后又進(jìn)入磁場(chǎng)．求：
（1）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌跡半徑R；
（2）質(zhì)子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比；
（3）若第一次射入磁場(chǎng)的質(zhì)子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，恰好從第二次射入磁場(chǎng)的質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)的位置再次進(jìn)入磁場(chǎng)，試求初速度v₀和電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間需要滿足的條件．

Answer 1

分析：本題（1）、（2）的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出質(zhì)子兩次運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，并確定兩圓心位置，然后根據(jù)幾何知識(shí)求出圓的半徑和圓心角即可；題（3）的關(guān)鍵是根據(jù)圖求出質(zhì)子兩軌跡與Y軸交點(diǎn)之間的距離，然后根據(jù)類平拋規(guī)律即可求解．

解答：解：（1）質(zhì)子兩次運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知
x₀=Rsin30°
解得R=2x₀=20cm；    
（2）第一次射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ₁=210°，
第二次射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ₂=30°，由t=

θ

360

?T，T=

2πm

qB

可得
質(zhì)子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為

t

1

：t

2

=

θ

1

：

θ

2

=7：1  
（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由ev0B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

eB

設(shè)第一次射入磁場(chǎng)的質(zhì)子，從y軸上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，從y軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系得，質(zhì)子沿y軸的位移為△y=（R+Rcos30°）+（R-Rcos30°）=2R
質(zhì)子的加速度為：a=

eE

m

沿電場(chǎng)方向位移為：x=△ycos30°=

1

2

at2
垂直電場(chǎng)方向?yàn)椋簓=△ysin30°=

v

0

t
聯(lián)立以上各式解得：v0=

3 E

6B

答：（1）質(zhì)子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌跡半徑R為20cm．
（2）質(zhì)子兩次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為7：1．
（3）初速度v₀和電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間需要滿足的條件為v0=

3 E

6B

．

點(diǎn)評(píng)：遇到帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，一般思路是先畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡（若是圓周運(yùn)動(dòng)則需要找到圓心并確定半徑和圓心角），然后再應(yīng)用相應(yīng)的規(guī)律求解即可．