Question

【題目】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的運(yùn)動(dòng)模型，是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)。它具有如下特點(diǎn)：

（1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到回復(fù)力的作用，回復(fù)力的大小與物體偏離平衡位置的位移大小成正比、方向與位移方向相反，即：F回 = -kx，其中k為振動(dòng)系數(shù)，其值由振動(dòng)系統(tǒng)決定。

（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種周期性運(yùn)動(dòng)，其周期與振動(dòng)物體的質(zhì)量的平方根成正比，與振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)系數(shù)的平方根成反比，而與振幅無(wú)關(guān)，即： 。

（1）如圖所示，一光滑的水平桿，在桿上穿有兩輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)分別為k1、k2，彈簧兩端固定于豎直墻上，中間系一質(zhì)量為m的金屬小球，此時(shí)兩彈簧均處于原長(zhǎng)，O為平衡位置�，F(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

a．寫出小球偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)合外力F合的表達(dá)式；

b．寫出小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T。

（2）一定質(zhì)量的理想氣體，在溫度保持不變的條件下，其壓強(qiáng)與體積的乘積保持不變，即：PV =P＇V＇（玻意爾—馬略特定律）。如圖所示，一密閉長(zhǎng)方體容器，導(dǎo)熱性能良好，中間有一質(zhì)量為m的活塞，將容器分隔成體積相等的兩部分，且兩部分氣體完全相同，整個(gè)容器的溫度保持不變。已知?dú)怏w的壓強(qiáng)為P0，活塞到兩端的距離均為L，活塞的橫截面積為S，取向右為正方向。

a．現(xiàn)將活塞緩慢向右移到M位置，由靜止釋放，試求出活塞的位移為x時(shí)兩邊氣體的壓強(qiáng)P1和P2 比值；

b．證明：在振幅A遠(yuǎn)小于L的條件下，活塞的運(yùn)動(dòng)可以看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

Answer 1

【答案】（1）a．F合= -(k1+k2)xb． （2）a． b．見解析

【解析】（1）a．設(shè)小球向右偏離平衡位置的位移大小為x時(shí)，則此時(shí)右側(cè)彈簧壓縮，彈力為k2x，方向向左；左側(cè)彈簧伸長(zhǎng)，彈力為kx1，方向向左，則合外力F合的表達(dá)式；F合= -(k1+k2)x；

b. 結(jié)合F回 = -kx，可知k=k1+k2，根據(jù)可得振子的周期： .

（2）a．對(duì)左邊氣體，由�！�馬定律得：P0LS=P1（L+x）S

所以

同理對(duì)右邊氣體，由�！�馬定律得：P0LS=P2（L-x）S

所以

所以

b．活塞在運(yùn)動(dòng)到距離平衡位置的位移為x時(shí)

F合=P1S - P2S= =

因?yàn)?/span>x遠(yuǎn)小于L，所以F合= = =- kx

其中k=為一定值，所以在A遠(yuǎn)小于L的條件下，活塞的運(yùn)動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。