Question

3．翻滾過山車是游樂場常見的一種游樂項(xiàng)止，由于運(yùn)動小車與軌道間總是存在的，空氣阻力的作用也不能不考慮，因此翻滾小車多為有動力的車型，在運(yùn)動過程中可將電能或化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，對小車經(jīng)過圓弧軌道最高點(diǎn)時的速度也有一定的要求，若以臨界速度通過，出現(xiàn)意外的可能就較大，為此，翻滾過山車使用前必須試驗(yàn)．
如圖所示是螺旋形翻滾過山軌道，一質(zhì)量為100kg的小車從高14m處由靜止滑下，當(dāng)它通過半徑R為4m的豎直圓軌道最高點(diǎn)A時，對軌道的壓力恰等于車重，問小車至少要在離地面多高處滑下，才能安全地通過A點(diǎn)？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 要使小球能夠通過圓軌道最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由動能定理，可以求得離地面的高度h．

解答 解：設(shè)小車經(jīng)過A點(diǎn)的速率為v_A，此時小車在豎直方向受到重力和軌道壓力N的作用，且N=mg，由牛頓第二定律，得
$N+mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$
即：$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=mgR$
設(shè)小車從B點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)克服各種阻力所做的功為W，由動能定律得
mg（h-2R）-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-0$
代入數(shù)據(jù)，解得
W=mg（h-2R）-$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$
=100×10×（14-2×4）-100×10×4
=2×10³J
若保證小車安全通過豎直面圓軌道，小車通過A點(diǎn)的最小速度為v_A′，
則有mg=$\frac{m{v}_{A}{′}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{A}′=\sqrt{gR}$
由于小車下滑高度減小，通過軌道上各點(diǎn)時的速度減小，所需向心加速度減小，對軌道的壓力減小，軌道對小車的摩擦及空氣阻力都減小，因此，克服阻力所做的功減小，即
Wˊ＜W=2×10³J
設(shè)小車開始下滑的高度為hˊ，則
mg（hˊ-2R）-W ˊ=$\frac{1}{2}m{v}_{A}{′}^{2}-0=\frac{1}{2}mgR$
代入數(shù)據(jù)解得：hˊ=12m
所以，小車至少要從離地面12m高處下滑才能保證安全．

點(diǎn)評 本題屬于圓周運(yùn)動中繩的模型，在最高點(diǎn)時應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動的向心力，對于圓周運(yùn)動中的兩種模型一定要牢牢的掌握�。�