Question

3．宇宙中存在著這樣一種四星系統(tǒng)，這四顆星的質(zhì)量相等，遠(yuǎn)離其他恒星，因此可以忽略其他恒星對(duì)它們的作用，四顆星穩(wěn)定地分布在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，且均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，假設(shè)每顆星的質(zhì)量為m，正方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，每顆星的半徑為R，引力常量為G，則（　　）

• A． 每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{1}{2}$L
• B． 每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為$\frac{{（{1+\sqrt{2}}）G{m^2}}}{{2{L^2}}}$
• C． 每顆星表面的重力加速度為$\frac{Gm}{R^2}$
• D． 每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$

Answer 1

分析 星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑等于正方形對(duì)角線的一半．
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星體表面的重力加速度．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，列出等式求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：A、由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
   r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A錯(cuò)誤；
B、星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：
F_合=$\frac{{Gm}^{2}}{{（\sqrt{2}L）}^{2}}$+2$\frac{{Gm}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$，故B錯(cuò)誤，D正確；
C、根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g
解得：g=$\frac{Gm}{R^2}$，故C正確；
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．