Question

14．如圖所示，兩塊平行金屬板M、N間的距離為R，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，N板右側有一半徑也為R的有界區(qū)域，區(qū)域內存在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的磁場，有界區(qū)域邊界與N板相切于s₂，s₁、s₂和圓形有界區(qū)域的圓心O三點共線，它們的連線垂直于MN．區(qū)域外有一半圓形絕緣彈性擋板，圓心與O點重合，板上各點到O點的距離為2R，板兩端點A、B的連線平行于M、N板．一質量為m、帶電荷量為+q的粒子經s₁進入M、N間的電場后，通過s₂進入有界區(qū)域．粒子在s₁處的速度和粒子所受的重力均不計．
（1）欲使粒子沿直線運動，可在有界區(qū)域內添加一勻強電場，求該勻強電場的大小和方向（設M、N兩板間電壓為U）；
（2）撤去有界區(qū)域內的勻強電場，要使粒子能打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足什么條件？
（3）若粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電荷量保持不變．要使粒子至少兩次打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強電場中在加速運動，電場力做功等于粒子動能的增加，根據動能定理求出加速得到的速度大小．加上電場后，欲使粒子沿直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，據此列式求解勻強電場的大小和方向．
（2）撤去有界區(qū)域內的勻強電場，粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，根據題意，正確畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系，再由牛頓第二定律列式即可求解．
（3）M、N兩板間的電壓越大，粒子加速獲得的速度越大，在磁場中的軌跡半徑越大，當電壓增大到粒子進入磁場偏轉，打在擋板上反彈后第二次通過A點時所加的電壓最大．結合幾何關系求出此時軌跡半徑，由動能定理求解電壓的條件．

解答 解：（1）設粒子在M、N間加速獲得的速度大小為v．
根據動能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
粒子在磁場中所受的洛倫茲力方向向下，欲使粒子沿直線運動，可在有界區(qū)域內添加一向上的勻強電場，且使粒子所受的電場力與洛倫茲力平衡，由 qvB=qE ②
由①②解得：E=B$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$ ③
（2）粒子帶正電，進入磁場后向下偏轉，因此粒子剛好打在擋板邊界上B點的軌跡如圖甲所示，由幾何關系可知，粒子做圓周運動的半徑為R，則
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ④
要使粒子能打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足的條件為：U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$ ⑤
（3）M、N兩板間的電壓越大，粒子加速獲得的速度越大，在磁場中圓周運動的半徑越大，當電壓增大到粒子進入磁場偏轉，打在擋板上反彈后通過A點時所加的電壓最大．
根據對稱性可知，此時粒子第一次在磁場中做圓周運動的軌跡所對的圓心角為45°，由幾何關系得：粒子運動的半徑 r=$\frac{R}{tan22.5°}$ ⑥
粒子在磁場中運動的速度 v=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{qBR}{mtan22.5°}$ ⑦
由qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$得M、N間的電壓 U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$ ⑧
因此要使粒子至少兩次打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足：$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$≥U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$ ⑨
答：
（1）欲使粒子沿直線運動，可在有界區(qū)域內添加一勻強電場，該勻強電場的大小為B$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，方向向下．
（2）撤去有界區(qū)域內的勻強電場，要使粒子能打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足的條件為：U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．
（3）若粒子與擋板碰撞后以原速率彈回，且其電荷量保持不變．要使粒子至少兩次打在絕緣彈性擋板上，M、N兩板間的電壓應該滿足的條件為：$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$≥U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．

點評 解決該題的關鍵是根據題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，并根據幾何關系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關系．該題對空間思維的能力要求比較高．