Question

15．如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)，棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1），斷開(kāi)輕繩，棒和環(huán)自由下落，假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失，棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)，求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度；
（2）棒與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度；
（3）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)棒和環(huán)做的功分別是多少？

Answer 1

分析 （1）在棒上升的過(guò)程中，環(huán)要受到重力的作用，同時(shí)由于環(huán)向下運(yùn)動(dòng)而棒向上運(yùn)動(dòng)，環(huán)還要受到棒的向上的摩擦力的作用，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求得加速度的大小．
（2）在下落的過(guò)程中，棒、環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由此求得棒第一次落地的速度大�。�當(dāng)棒觸地反彈時(shí)，環(huán)將繼續(xù)下落，棒、環(huán)之間存在相對(duì)滑動(dòng)，由牛頓第二定律求得兩者的加速度．由速度時(shí)間公式求得環(huán)與棒將在空中達(dá)到相同速度．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得上升的最大高度．從最高點(diǎn)棒和環(huán)一起自由下落，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解棒與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度．
（3）整個(gè)過(guò)程中能量的損失都是由于摩擦力對(duì)物體做的功，所以根據(jù)能量的守恒可以較簡(jiǎn)單的求得摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的功．

解答 解：（1）設(shè)棒第一次反彈上升過(guò)程中，環(huán)的加速度為a₁，由于k＞1，所以kmg＞mg
由牛頓第二定律得：kmg-mg=ma₁
解得：a₁=（k-1）g，方向豎直向上．
（2）在下落的過(guò)程中，棒、環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且下落過(guò)程中，棒、環(huán)之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)棒第一次落地的速度大小為v₁，由機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$×2$m{v}_{1}^{2}$-0=2mgH-0，解得：v₁=$\sqrt{2gH}$
當(dāng)棒觸地反彈時(shí)，環(huán)將繼續(xù)下落，棒、環(huán)之間存在相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)此時(shí)棒的加速度為a₂．
由牛頓第二定律得：mg+kmg=ma₂
解得：a₂=（k+1）g，方向豎直向下，即棒減速上升
環(huán)與棒將在空中達(dá)到相同速度v，有：v=v₁-a₁t=-v₁+a₂t   
解得：v=$\frac{{v}_{1}}{k}$
設(shè)此時(shí)棒上升的高度為h₁，有：v²-v₁²=-2a₂h₁
此后，棒和環(huán)一起下落，設(shè)與地面碰撞前瞬間速度為v₂，有：
 v₂²-v²=2gh₁    
解得：${v_2}=\frac{1}{{\sqrt{k}}}{v_1}=\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
（3）設(shè)摩擦力對(duì)棒和環(huán)做的功分別為W₁和W₂，整個(gè)過(guò)程中環(huán)與棒的相對(duì)位移為l
對(duì)棒有：mgH+W₁=0
對(duì)環(huán)有：mg（H+l）+W₂=0
對(duì)系統(tǒng)有：kmgl=mg（H+l）+mgH
解得：W₁=-mgH，W₂=${W_2}=-\frac{k+1}{k-1}mgH$
答：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)的加速度是（k-1）g，方向豎直向上；
（2）棒與地面第二次碰撞前的瞬時(shí)速度是$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$；
（3）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對(duì)棒和環(huán)做的功分別是=-mgH和-$\frac{k+1}{k-1}mgH$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合性較強(qiáng)，涉及多過(guò)程運(yùn)動(dòng)分析，難點(diǎn)在于分析棒和環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得出位移，最后一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)是摩擦生熱的計(jì)算，可對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒定律研究．．