Question

2．如圖所示，在Ⅰ區(qū)里有豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=4×10⁵N/C，在Ⅱ區(qū)里有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)豎直邊界PQ、MN的間距和磁場(chǎng)豎直邊界MN、RS的間距相等均為d，d=0.4m．質(zhì)荷比$\frac{m}{q}$=4×10^-10kg/C的帶正電粒子，以初速度v₀=2×10⁷m/s從PQ邊界上的O點(diǎn)垂直P(pán)Q射入電場(chǎng)．若電、磁場(chǎng)在豎直方向分布足夠廣，不計(jì)粒子的重力．求；
（1）求粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)、磁場(chǎng)邊界MN時(shí)的速度及偏離v₀方向的夾角；
（2）若要使粒子未從磁場(chǎng)邊界RS穿出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍；
（3）粒子在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大可能值．

Answer 1

分析 （1）由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再根據(jù)受力求得加速度，即可求得豎直分速度，進(jìn)而由速度的合成求得速度大小及方向；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑范圍，然后由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度范圍；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的中心角及粒子再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)水平分速度，然后由勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)只受電場(chǎng)力作用，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}=\frac67zpr3t{{v}_{0}}=2×1{0}^{-8}s$，粒子運(yùn)動(dòng)的加速度$a=\frac{qE}{m}=1×1{0}^{15}m/{s}^{2}$；
故粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)、磁場(chǎng)邊界MN時(shí)的豎直分速度${v}_{y}=a{t}_{1}=2×1{0}^{7}m/s$，速度$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2\sqrt{2}×1{0}^{7}m/s$，與v₀方向的夾角$θ=arctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=45°$；
（2）若要粒子不從RS穿出，那么，由幾何關(guān)系可得：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$R≤\fracpc2nq9r{1+sin45°}=0.4（2-\sqrt{2}）m$；
故由洛倫茲力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$B=\frac{mv}{qR}≥0.02（1+\sqrt{2}）T$；
（3）由粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可知：粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)$\frac{3}{2}π$的中心角，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)在MN上速度沿水平方向的分量為v₀；
所以，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}′=2×\fracpklhw37{{v}_{0}}=4×1{0}^{-8}s$；粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}≤3π（\sqrt{2}-1）×1{0}^{-8}s$=3.9×10^-8s；
所以，粒子在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大可能值為${t}_{1}′+{t}_{2m}=7.9×1{0}^{-8}s$；
答：（1）粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)、磁場(chǎng)邊界MN時(shí)的速度為$2\sqrt{2}×1{0}^{7}m/s$，偏離v₀方向的夾角為45°；
（2）若要使粒子未從磁場(chǎng)邊界RS穿出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為$B≥0.02（1+\sqrt{2}）T$；
（3）粒子在電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大可能值為7.9×10^-8s．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．