Question

6．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條軌道，其中ABC的末端水平，DEF是一半徑R=0.9m的光滑半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，AB是個(gè)粗糙的斜面，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，傾角θ=37⁰，BC是光滑的水平面，過(guò)B時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的可視質(zhì)點(diǎn)的小滑塊從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H處A點(diǎn)由靜止釋放，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若要使小滑塊經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF且恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，滑塊過(guò)D點(diǎn)速度多大？
（2）要符合上述條件小滑塊應(yīng)從軌道ABC上距C點(diǎn)多高的地方由靜止釋放？
（3）求小滑塊沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)F、D兩點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力之差．

Answer 1

分析 （1）小滑塊經(jīng)C處后恰能沿軌道DEF做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小滑塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度．
（2）對(duì)從A到C過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求解釋放點(diǎn)的高度．
（3）滑塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)和F點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力公式分別列式．再結(jié)合機(jī)械能守恒定律求解．

解答 解：（1）小滑塊經(jīng)C處后恰能沿軌道DEF做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在D點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
    mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得 v_D=3m/s
（2）小滑塊從A到C過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得
   mgH-μmgcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得 H=0.75m
（3）小滑塊沿DEF做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0．
從D到F的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
   mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在F點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
聯(lián)立得 N=6mg=60N
由牛頓第三定律得，在F點(diǎn)，滑塊對(duì)軌道的壓力大小為60N，所以小滑塊沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)F、D兩點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力之差為60N．
答：
（1）若要使小滑塊經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF且恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，滑塊過(guò)D點(diǎn)速度是3m/s．
（2）要符合上述條件小滑塊應(yīng)從軌道ABC上距C點(diǎn)0.75m高的地方由靜止釋放．
（3）小滑塊沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)F、D兩點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力之差是60N．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒結(jié)合的題型，關(guān)鍵要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．