Question

5．如圖所示，CDE為豎直面內的圓弧軌道，圓弧軌道左端C與平臺側面接觸，平臺表面AB與圓心O及圓弧E點在同一水平面上，一物塊靜止在平臺上A點，用一水平拉力拉物塊A，運動到B點時撤去拉力，物塊從B點以一定的速度拋出，落在圓弧軌道上，已知BC間的距離為h，圓弧軌道的半徑為R，重力加速度為g，物塊的質量為m，物塊與平臺間的動摩擦因數(shù)為μ，AB間的距離為L，求：
（1）若要使物塊能落到圓弧的最低點，水平拉力做功應該為多少？
（2）若要使物塊落到圓弧軌道上時，速度垂直于圓弧面，水平拉力做功應該為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從B點以一定的速度拋出后做平拋運動，若落在落到圓弧的最低點，根據(jù)幾何關系得出平拋運動的水平位移和豎直位移，再根據(jù)平拋運動基本公式求出B點速度，從A到B的過程中，根據(jù)動能定理即可求解；
（2）物塊落到圓弧軌道上時，速度垂直于圓弧面，根據(jù)末速度的反向延長線通過水平位移的中點結合幾何關系得出平拋運動的水平位移和豎直位移，再根據(jù)平拋運動基本公式求出B點速度，從A到B的過程中，根據(jù)動能定理即可求解．

解答 解：（1）物塊從B點以一定的速度拋出后做平拋運動，若落在落到圓弧的最低點，則豎直位移y=R，
根據(jù)幾何關系得水平位移為：
x=OB=$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
根據(jù)平拋運動基本公式得：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
B點速度為：
${v}_{B}=\frac{x}{t}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}=\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}•\sqrt{\frac{g}{2R}}$，
從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：
W-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：W=$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{4R}+μmgL$
（2）物塊落到圓弧軌道上時，速度垂直于圓弧面，如圖所示：

根據(jù)平拋運動末速度的反向延長線通過水平位移的中點可知：
水平位移為：$x′=2OB=2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
豎直位移為：$y′=\sqrt{{R}^{2}-（OB）^{2}}$=h
則有：t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
B點速度為：${v}_{B}′=\frac{x′}{t′}$=$\frac{2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=2\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}•\sqrt{\frac{g}{2h}}$
從A到B的過程中，根據(jù)動能定理得：
W′-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}′}^{2}$
解得：W′=$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{h}+μmgL$
答：（1）若要使物塊能落到圓弧的最低點，水平拉力做功應該為$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{4R}+μmgL$；
（2）若要使物塊落到圓弧軌道上時，速度垂直于圓弧面，水平拉力做功應該為$\frac{mg（{R}^{2}-{h}^{2}）}{h}+μmgL$．

點評 本題主要考查了平拋運動基本公式以及動能定理的直接應用，知道平拋運動在水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，注意幾何關系在解題中的應用，難度適中．