Question

3．如圖所示，兩個(gè)同心圓是磁場(chǎng)的理想邊界，內(nèi)圓半徑為R，外圓半徑為$\sqrt{3}$R，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，內(nèi)外圓之間環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，內(nèi)圓的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{B}{3}$．t=0時(shí)一個(gè)質(zhì)量為m，帶-q電量的離子（不計(jì)重力），從內(nèi)圓上的A點(diǎn)沿半徑方向飛進(jìn)環(huán)形磁場(chǎng)，剛好沒(méi)有飛出磁場(chǎng)．
（1）求離子速度大小
（2）離子自A點(diǎn)射出后在兩個(gè)磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開(kāi)始經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到A點(diǎn)？
（3）從t=0開(kāi)始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子在內(nèi)圓磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為多少？
（4）畫出從t=0到第二次回到A點(diǎn)離子運(yùn)動(dòng)的軌跡．（小圓上的黑點(diǎn)為圓周的等分點(diǎn)，供畫圖時(shí)參考）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出離子剛好不出環(huán)形磁場(chǎng)時(shí)的半徑，結(jié)合半徑公式求出離子的大�。�
（2）作出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式、周期公式以及圓心角的大小，結(jié)合幾何關(guān)系求出第一次回到A點(diǎn)的時(shí)間．
（3）從t=0開(kāi)始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子在內(nèi)圓磁場(chǎng)中共運(yùn)動(dòng)6次，結(jié)合周期公式和幾何關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（4）根據(jù)幾何關(guān)系作出離子的軌跡圖．

解答 解：（1）依題意在外磁場(chǎng)軌跡與外圓相切，如圖
由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
由圖中幾何關(guān)系得：${（\sqrt{3}R-{r_1}）^2}={R^2}+r_1^2$
得：${r_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$．
由以上各式得：$v=\frac{{\sqrt{3}qBR}}{3m}$．
（2）離子從A出發(fā)經(jīng)C、D第一次回到A軌跡如圖，在內(nèi)圓的磁場(chǎng)區(qū)域：$qv\frac{B}{3}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
可得：${r}_{2}=\frac{3mv}{qB}=3{r}_{1}=\sqrt{3}R$，
周期：${T_2}=\frac{{2π{r_2}}}{v}=\frac{6πm}{qB}$
由幾何關(guān)系可知：β=$\frac{π}{6}$
在外磁場(chǎng)區(qū)域的周期：${T_1}=\frac{{2π{r_1}}}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
由幾何關(guān)系可知：α=$\frac{4π}{3}$．
離子A→C→D→A的時(shí)間：$t{\;}_1=2×\frac{2}{3}{T_1}+\frac{1}{6}{T_2}$
解得：$t{\;}_1=\frac{11πm}{3qB}$．
（3）從t=0開(kāi)始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子在內(nèi)圓磁場(chǎng)中共運(yùn)動(dòng)6次，時(shí)間為t₂：$t{\;}_2=6×\frac{1}{6}{T_2}$
解得：$t{\;}_2=\frac{6πm}{qB}$
（4）軌跡如圖．
答：（1）離子速度大小為$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（2）從t=0開(kāi)始經(jīng)$\frac{11πm}{3qB}$時(shí)間第一次回到A點(diǎn)．
（3）離子在內(nèi)圓磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為$\frac{6πm}{qB}$．
（4）軌跡如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵會(huì)確定圓心、半徑和圓心角，結(jié)合周期公式、半徑公式進(jìn)行求解，會(huì)作出離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖是解決的關(guān)鍵．