Question

18．如圖，在空間中存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直xOy平面向外，同時(shí)在x＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場，方向沿y軸正方向．一帶電量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，從x軸負(fù)方向上某點(diǎn)P以初速度v₀射入第二象限，方向與x軸負(fù)方向成60°角，經(jīng)過一定時(shí)間后從y軸上y=$\frac{3}{2}$L處的Q點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入x＞0的空間，并在x＞0的空間中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若保持粒子經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度不變，而將x＞0的空間中的勻強(qiáng)磁場撤去，勻強(qiáng)電場大小保持不變，方向變?yōu)檠貀軸負(fù)方向，粒子將經(jīng)過x軸上的M點(diǎn)．不計(jì)重力．求：
（1）粒子的初速度V₀為多大？
（2）粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)的時(shí)間為多少？
（3）粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度V為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子的初速度大�。�
（2）粒子在x＞0的空間中做勻速直線運(yùn)動(dòng)．知電場力和洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡求出電場強(qiáng)度的大�。畬�x＞0的空間中的勻強(qiáng)磁場撤去，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)的時(shí)間．
（3）根據(jù)速度時(shí)間公式求出粒子經(jīng)過M點(diǎn)的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出粒子在M點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則：
根據(jù)幾何關(guān)系有：$r+rcos60°=\frac{3}{2}L$，
解得r=L．
根據(jù)$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$得：${v}_{0}=\frac{qBL}{m}$．
（2）設(shè)電場強(qiáng)度為E，則：qE=qv₀B，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}L}{m}$．
設(shè)粒子在磁場和電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t₁、t₂
則${t}_{1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$．
$\frac{3}{2}L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{2}}^{2}$，
解得：${t}_{2}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
則：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{3qB}$．
（3）粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)，有：${v}_{y}=\frac{qE}{m}{t}_{2}=\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$．
根據(jù)平行四邊形定則知：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{2qBL}{m}$．
答：（1）粒子的初速度為$\frac{qBL}{m}$；
（2）粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{3qB}$；
（3）粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度為$\frac{2qBL}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定圓心、半徑和圓心角，對(duì)于粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．