Question

1．如圖1，兩個(gè)圓心為（±r，0 ），半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r的圓把空間切成幾個(gè)區(qū)域．空間中有如圖1所示的磁場(chǎng)．其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=B₀$\frac{t}{{t}_{0}}$，即隨時(shí)間線性變化．

（1）求兩圓相交部分電場(chǎng)分布．
（2）求如圖2所示電路中各電壓表（均是上端接入紅表筆下端黑表筆）的讀數(shù)和U_a，U_b，其中電壓表電阻為2R₀．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可以得到兩個(gè)圓上產(chǎn)生的電流，依據(jù)通電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)分布可以判定兩圓相交部分電場(chǎng)分布．
（2）畫(huà)出等效電路圖，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，依據(jù)歐姆定律可以分析電表讀數(shù)，以及a，b點(diǎn)的電壓．

解答 解：（1）由于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=B₀$\frac{t}{{t}_{0}}$是隨時(shí)間均勻增加的，故有法拉第電磁感應(yīng)定律可知兩個(gè)線圈的電流方向?yàn)�，左邊的圓電流是逆時(shí)針；右邊的圓電流是順時(shí)針，在相交部分產(chǎn)生的電場(chǎng)如圖：
．

（2）等效電路如圖：

由法拉第電磁感應(yīng)定律可得：
$E=\frac{△∅}{△t}=\frac{△B•S}{△t}$=$B′•S=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}•$S，
由幾何關(guān)系可得，有磁場(chǎng)的面積為：
$S=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）}{9}$，
可得：
$E=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，
電壓表V₂的示數(shù)為電源電動(dòng)勢(shì)，即：${U}_{2}=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，
由電路圖可知，V₁，V₃電壓與電阻成正比，有：
${U}_{1}={U}_{3}=\frac{2}{5}E=\frac{4{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{45{t}_{0}}$．
a接電源負(fù)極，b接電源正極，則以負(fù)極為零勢(shì)點(diǎn)，b電勢(shì)為電源電動(dòng)勢(shì)，即：U_a=0；U_b=$\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$．
答：（1）兩圓相交部分電場(chǎng)分布如圖．
（2）如圖2所示電路中各電壓表（均是上端接入紅表筆下端黑表筆）的讀數(shù)${U}_{2}=\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$，${U}_{1}={U}_{3}=\frac{4{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{45{t}_{0}}$；U_a=0；U_b=$\frac{2{r}^{2}（π+3\sqrt{3}）{B}_{0}}{9{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題的難點(diǎn)為等效電路圖的建立，在電磁感應(yīng)、閉合電路歐姆定律當(dāng)中，正確建立等效電路圖的是一個(gè)較高難度的技能；