Question

10．在如圖所示的xOy平面直角坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)有沿y軸正向、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從O點(diǎn)以某一初速度v₀（未知）沿x軸正向射入電場(chǎng)后，剛好通過(guò)第一象限的P點(diǎn)，OP長(zhǎng)為d，與y軸正方向夾角θ=60°；撤去電場(chǎng)，在y軸左側(cè)加一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子以大小相同的速度v₀從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，方向與磁場(chǎng)及OP垂直，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后，仍能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，不計(jì)粒子重力．

（1）求v₀的值；
（2）求y軸左側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大��；
（3）若題中其它條件不變，僅將y軸左側(cè)的磁場(chǎng)改為大小仍為B₀、方向隨時(shí)間作周期性變化的磁場(chǎng)，變化規(guī)律如圖所示，同時(shí)讓粒子在t=0時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)．已知圖中t₀=$\frac{5πm}{6q{B}_{0}}$，以垂直紙面向里為磁場(chǎng)的正方向．調(diào)整時(shí)間△T，確保粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后仍過(guò)P點(diǎn)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求出速度；
（2）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾關(guān)系求出半徑，再由牛頓第二定律求解磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)t₀時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的角度為β，求出β，粒子運(yùn)動(dòng)到x軸負(fù)方向上時(shí)，磁場(chǎng)改變方向，粒子偏轉(zhuǎn)n個(gè)圓周后回到x軸負(fù)方向上的點(diǎn)，磁場(chǎng)再次改變方向，求出可使粒子從Q點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度，再結(jié)合周期求出求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有：
dsin60°=v₀t₁，
dcos60$°=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
Eq=ma，
解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{3Eqd}{4m}}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：

設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系得：∠OO₁Q=60°，O₁O=OQ=R
△OPQ為等腰三角形，OP=OQ=d，
由牛頓第二定律得：
q${v}_{0}{B}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：${B}_{0}=\sqrt{\frac{3mE}{4qd}}$
（3）由題意知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)t₀時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的角度為β，則${t}_{0}=\frac{β}{2π}•\frac{2πm}{{B}_{0}q}$，
解得：$β=\frac{5}{6}π$，
故粒子運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，磁場(chǎng)改變方向，粒子偏轉(zhuǎn)n個(gè)圓周后回到M點(diǎn)，磁場(chǎng)再次改變方向，可使粒子從Q點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，△T=nT，粒子在經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度$α=\frac{5}{3}π$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=△T+t′
$t′=\frac{α}{2π}T=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{{B}_{0}q}$
得：t=（n+$\frac{5}{6}$）$•\frac{2πm}{q{B}_{0}}$或（4n+$\frac{10}{3}$）$π\(zhòng)sqrt{\frac{md}{3Eq}}$（n=1，2，3…）
答：
（1）v₀的值為$\sqrt{\frac{3Eqd}{4m}}$；
（2）y軸左側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小為$\sqrt{\frac{3mE}{4qd}}$；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的可能值為（n+$\frac{5}{6}$）$•\frac{2πm}{q{B}_{0}}$或（4n+$\frac{10}{3}$）$π\(zhòng)sqrt{\frac{md}{3Eq}}$（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解，難度較大．