Question

6．如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ電阻不計，其間距離為L，兩導軌及其構成的平面與水平面成θ角，兩根用細線連接的金屬桿ab、cd分別垂直導軌放置，平行斜面向上的外力F作用在桿ab上，使兩桿靜止，已知兩金屬桿ab、cd的質量分別為m和2m，兩金屬桿的電阻都為R，并且和導軌始終保持良好接觸，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度為B．某時刻將細線燒斷，保持桿ab靜止不動，重力加速度為g．求：
（1）細線燒斷后外力F的最小值F₁和最大值F₂；
（2）當外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$時，cd桿的速度大��；
（3）從細線燒斷到cd桿達到最大速度，桿ab產生的電熱為Q，求cd桿在此過程中經過的位移s．

Answer 1

分析 （1）桿ab靜止不動，細線剪斷后cd棒向下加速運動，切割磁感線產生感應電流，速度增大，安培力增大，當安培力與重力的下滑分力平衡時開始勻速運動，速度最大．在這個過程中，ab所受的安培力逐漸增大直到不變，所以開始時F最小，cd勻速運動時F最大．由平衡條件求解．
（2）當外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$ 時，度ab桿受力分析得到安培力大小，對cd桿根據切割公式和歐姆定律公式得到cd桿的速度大�。�
（3）根據平衡條件求出cd桿的最大速度，由能量守恒求解位移s．

解答 解：（1）細線燒斷瞬間，外力F取得最小值F₁，對桿ab：F₁=mgsinθ，
桿到達最大速度v_m時，外力F取得最大值F₂，對桿ab：F₂=mgsinθ+F_安，
對cd桿，因其勻速運動，則：F_安'=2mgsinθ，
顯然：F_安=F_安'，
代入可得：F₂=3mgsinθ；
（2）當外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$  時，對桿ab：F=mgsinθ+F_安=2mgsinθ，
可得：F_安=mgsinθ，
又知：F_安=BIL，
其中：I=$\frac{BLv}{2R}$，
可得此時cd桿勻速運動速度：v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）由于兩桿電阻相等，所以產生電熱相等．cd桿達到最大速度前，電路產生的總電熱為2Q，
設cd桿達到最大速度前經過的位移為x，由能量守恒可知：2mgsinθ•s=$\frac{1}{2}$（2m）v+2Q，
cd桿最后勻速時：F_安=2mgsinθ=BIL，I=$\frac{BL{v}_{max}}{2R}$，
聯立得：s=$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ+{B}^{4}{L}^{4}Q}{{B}^{4}{L}^{4}mgsinθ}$；
答：（1）細線燒斷后外力F的最小值F₁為mgsinθ，最大值F₂為3mgsinθ；
（2）當外力F=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$時，cd桿的速度大小為$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）cd桿在此過程中經過的位移s為$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}si{n}^{2}θ+{B}^{4}{L}^{4}Q}{{B}^{4}{L}^{4}mgsinθ}$．

點評 本題是電磁感應中的力學問題，綜合運用電磁磁學知識和力平衡知識．關鍵要正確分析cd桿的運動情況，熟練求解安培力，把握能量如何轉化的．