Question

3．如圖所示，半徑為R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧AB在豎直平面內，圓弧B處的切線水平．B端高出水平地面h=0.8m，O點在B點的正下方．將一質量為m=1.0kg的滑塊從A端靜止釋放，落在水平面上的C點處，g取10m/s²．求：
（1）水平距離x_OC
（2）若在B端接一長為L=1.0m的水平木板MN，滑塊從A端靜止釋放后正好運動到N端停止，則木板與滑塊間的動摩擦因數μ為多少
（3）若將水平木板右端截去長為△L的一段，滑塊從A端靜止釋放后將滑離木板落在水平面上的P點（未畫出）．要使落地點P距O點最遠，則△L應為多少？并算出OP間的最大距離．

Answer 1

分析 （1）滑塊從光滑圓弧下滑過程中，只有重力做功，滑塊的機械能守恒，根據機械能守恒定律列式求解B點速度；滑塊從B到C過程中做平拋運動，根據平拋運動的分位移公式列式求解；
（2）滑塊從B端運動到N端停止過程，滑動摩擦力對滑塊做負功，根據動能定理求出木板與滑塊的動摩擦因數；
（3）若將木板右端截去長為△L的一段，根據動能定理求出滑塊滑到木板右端的速度，由平拋運動知識得出落地點距O點的距離與△L的關系，由數學知識求出此距離的條件．

解答 解：（1）滑塊從光滑圓弧下滑過程中，根據機械能守恒定律得
mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，代入數據解得v_B=2m/s．
滑塊離開B點后做平拋運動，則
豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，水平方向上：x_OC=v_Bt，
代入數據解得x_OC=0.8m
（2）滑塊從B端運動到N端停止過程，根據動能定理得
-μmgL=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
代入解得μ=0.2
（3）若將木板右端截去長為△L的一段后，設滑塊滑到木板最右端時速度為v，由動能定理得
-μmg（L-△L）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_}^{2}$
滑塊離開木板后仍做平拋運動，高度不變，運動時間不變，則
落地點距O點的距離S=L-△L+vt
聯立整理得，S=0.8$\sqrt{△L}-△L$
根據數學知識得知，當$\sqrt{△L}$=0.4時，S最大，即△L=0.16m時，S最大．
答：（1）OC的長為0.8m；
（2）木板與滑塊的動摩擦因數為0.2；
（3）若將木板右端截去長為△L的一段，滑塊從A端釋放后將滑離木版落在水平面上P點處，要使落地點距O點的距離最遠，△L應為0.16m．

點評 此題前兩問是常規(guī)題，是機械能守恒和動能定理綜合．第（3）問，考查運用數學知識求解物理極值的能力．