Question

17．如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定兩個很靠近的同心圓軌道，外圓內(nèi)表面光滑，內(nèi)圓外表面粗糙，一質(zhì)量為m的小球從軌道的最低點以初速度v₀向右運(yùn)動．球的直徑略小于兩圓間距，球運(yùn)動的軌道半徑為R，不計空氣阻力，下列說法正確的是（　　）

• A． 若v₀=$\sqrt{4gR}$，則小球在整個運(yùn)動過程克服中摩擦力做功等于mgR
• B． 若使小球在最低點的速度v₀大于$\sqrt{5gR}$，則小球在整個運(yùn)動過程中，機(jī)械能守恒
• C． 若小球要做一個完整的圓周運(yùn)動，小球在最低點的速度v₀必須大于等于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次運(yùn)動到最高點，內(nèi)環(huán)對小球的支持力為0.5mg，則小球在最低點對外圓環(huán)的壓力為5.5mg

Answer 1

分析 內(nèi)圓粗糙，小球與內(nèi)圓接觸時要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，機(jī)械能不守恒；外圓光滑，小球與外圓接觸時不受摩擦力作用，只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律分析答題．

解答 解：AB、若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動，小球應(yīng)沿外圓內(nèi)側(cè)運(yùn)動，在運(yùn)動過程中不受摩擦力，機(jī)械能守恒，小球恰好運(yùn)動到最高點時速度設(shè)為v，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
小球在最低點時的最小速度為：v₀=$\sqrt{5gR}$，
所以若使小球始終做完整的圓周運(yùn)動，則v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$，故B正確；
若v₀=$\sqrt{4gR}$，小球在運(yùn)動過程中一定與內(nèi)圓接觸，機(jī)械能不斷減少，經(jīng)過足夠長時間，小球最終可能在圓心下方做往復(fù)運(yùn)動，最高點與圓心等高，機(jī)械能為mgR，
最低點的機(jī)械能為：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgR，
故小球在整個運(yùn)動過程中機(jī)械能損失mgR，即克服中摩擦力做功等于mgR，故A正確；
C、若小球的速度小于$\sqrt{5gR}$，也是有可能做完整的圓周運(yùn)動的，只是最終在圓心下方做往復(fù)運(yùn)動，故C錯誤；
D、若小球第一次運(yùn)動到最高點，內(nèi)環(huán)對小球的支持力為0.5mg，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
故最高點機(jī)械能：E₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mg•2R$=$\frac{11}{4}mgR$；
若小球在最低點對外圓環(huán)的壓力為5.5mg，對小球：5.5mg-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$，
故最低點機(jī)械能為：E₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mg•2R=$\frac{11}{4}mgR$，
即機(jī)械能守恒，而最低點速度v₀小于$\sqrt{5gR}$，機(jī)械能應(yīng)該減小，矛盾，故D錯誤；
故選：AB

點評 本題的關(guān)鍵是理清運(yùn)動過程，抓住臨界狀態(tài)，明確最高點的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和向心力知識結(jié)合進(jìn)行研究．