Question

4．如圖，某星球自轉(zhuǎn)周期為T，飛行器P對(duì)此星球執(zhí)行觀測(cè)任務(wù)，經(jīng)調(diào)整高度，飛行器只受萬(wàn)有引力繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且相對(duì)星球表面靜止，測(cè)得星球相對(duì)飛行器的張角為θ=60°，飛行器正對(duì)星球表面發(fā)射電磁波經(jīng)過(guò)t時(shí)間收到返回信號(hào)，已知電磁波在真空中傳播速度為C，忽略星球表面大氣對(duì)電磁波速的影響，求：
（1）該星球的半徑R；
（2）該星球的質(zhì)量M；
（3）該星球的密度ρ

Answer 1

分析 根據(jù)光速與時(shí)間求解高度，結(jié)合幾何知識(shí)求解該星球的半徑R，
由星球的萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律求解星球的質(zhì)量M；
根據(jù)密度的定義求解密度．

解答 解：（1）測(cè)得星球相對(duì)飛行器的張角為θ=60°，飛行器正對(duì)星球表面發(fā)射電磁波經(jīng)過(guò)t時(shí)間收到返回信號(hào)，
所以h=$\frac{ct}{2}$
根據(jù)幾何知識(shí)得由幾何關(guān)系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
h+R=2R
所以R=$\frac{ct}{2}$
（2）對(duì)于飛行器，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
M=$\frac{{{4π}^{2}（Ct）}^{3}}{{GT}^{2}}$
（3）根據(jù)密度的定義得
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{24π}{{GT}^{2}}$
答：（1）該星球的半徑是$\frac{ct}{2}$；
（2）該星球的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}（Ct）}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（3）該星球的密度是$\frac{24π}{{GT}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律和萬(wàn)有引力等于向心力這一基本思路，結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行解題．