Question

11．2011年3月，日本發(fā)生了9.0級(jí)大地震，在這次抗震救災(zāi)行動(dòng)中，為了及時(shí)了解災(zāi)情，利用衛(wèi)星對(duì)災(zāi)區(qū)進(jìn)行了全天候的監(jiān)測(cè)，若參與監(jiān)測(cè)的甲、乙兩顆人造地球衛(wèi)星在同一軌道平面上的不同高度處同向運(yùn)動(dòng)（可視為勻速圓運(yùn)動(dòng)），甲距地面的高度為地球半徑的0.5倍，乙距地面的高度為地球半徑的5倍，兩衛(wèi)星在某一時(shí)刻正好位于地球表面某點(diǎn)的正上空．求：
（1）兩衛(wèi)星運(yùn)行的線速度之比？
（2）乙衛(wèi)星至少要經(jīng)過多少周期，兩衛(wèi)星間的距離才會(huì)達(dá)到最大？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力得出線速度與軌道半徑的關(guān)系，結(jié)合軌道半徑之比求出線速度之比．
根據(jù)周期與軌道半徑的關(guān)系求出周期之比，結(jié)合兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系求出兩衛(wèi)星距離最大時(shí)經(jīng)過的時(shí)間．

解答 解：（1）衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
甲的軌道半徑為1.5R，乙的軌道半徑為6R，可知甲乙的軌道半徑之比為1：4，
則線速度之比為2：1．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因?yàn)檐壍腊霃街�比�?：4，則周期之比T_甲：T_乙=1：8，
又因?yàn)樾l(wèi)星間的距離第一次最大時(shí)，它們轉(zhuǎn)過的角度差π：$\frac{2π}{{T}_{甲}}t-\frac{2π}{{T}_{乙}}t=π$，
解得t=$\frac{{T}_{乙}}{14}$．
答：（1）兩衛(wèi)星運(yùn)行的線速度之比為2：1．
（2）乙衛(wèi)星至少要經(jīng)過$\frac{{T}_{乙}}{14}$周期，兩衛(wèi)星間的距離才會(huì)達(dá)到最大．

點(diǎn)評(píng) 該題考查萬有引力定律的一般應(yīng)用，其中衛(wèi)星間的距離第一次最大時(shí)，它們轉(zhuǎn)過的角度差π是解決問題的關(guān)鍵．屬于中檔題目．