Question

8．如圖所示，豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xoy中，在x＜0的區(qū)域內(nèi)存在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），第三象限內(nèi)平行于y軸的虛線左側(cè)區(qū)域Ⅰ中還存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一長(zhǎng)為8.5L的絕緣粗糙直桿沿與x軸正方向成θ=37°固定放置，其PQ段中點(diǎn)恰好與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，端點(diǎn)Q在區(qū)域Ⅰ的邊界上，質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）穿在直桿上，小球可在桿上只有滑動(dòng)，將小球從P點(diǎn)靜止釋放，小球沿桿運(yùn)動(dòng)，隨后從Q端離開直桿進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ，小球在區(qū)域Ⅰ中恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后垂直穿過x軸，已知PQ段長(zhǎng)度為L(zhǎng)，小球和桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，整個(gè)過程中小球所帶電荷量不變，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求
（1）場(chǎng)強(qiáng)的大小及方向
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小
（3）若改變小球在直桿上靜止釋放的位置，求小球從Q點(diǎn)經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后直接到達(dá)x軸的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由于小球在Ⅰ區(qū)受三個(gè)力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其中的重力及電場(chǎng)力平衡，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)由動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，由于是垂直到達(dá)x軸，所以很容易確定小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑，由洛侖茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）同樣道理，從橫坐標(biāo)x處自由滑下的小球由動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，由于半徑發(fā)生變化，畫出軌跡，由幾何關(guān)系求出小球轉(zhuǎn)過的角度，由周期公式從而求出從Q點(diǎn)到達(dá)x軸的時(shí)間．

解答 解：（1）由題意，小球進(jìn)入Ⅰ區(qū)后恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則可知：Eq=mg 
所以x＜0區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{mg}{q}$  方向豎直向上．
（2）從P到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：$mglsinθ-μmgcosθ•\frac{l}{2}-Eq\frac{l}{2}sinθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入可得：v=$\frac{\sqrt{5gl}}{5}$=$\sqrt{2l}$
由于粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)垂直打在x軸上，由幾何關(guān)系就能求出做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{l}{2}$tgθ=$\frac{3}{8}l$
由洛侖茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
就能求得：B=$\frac{8\sqrt{2}m}{3q\sqrt{l}}$
（3）設(shè)小球從橫坐標(biāo)為x處自由滑下，由動(dòng)能定理可得：$mg（xtgθ+\frac{l}{2}sinθ）-μmgcosθ•\frac{x}{cosθ}-Eq\frac{l}{2}sinθ$=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
從而求$v′=5\sqrt{x}$
在Ⅰ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由上述結(jié)論半徑為：r=$\frac{mv′}{qB}$=$\frac{15}{8}\sqrt{lx}$
由幾何關(guān)系有：cosα=$\frac{AB}{r}=\frac{（r-\frac{l}{2}tgθ）}{cosθ•r}$=$\frac{5}{4}-\frac{15l}{32r}$=$\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}$
小球離開桿到達(dá)x軸的時(shí)間為：t=$\frac{α+θ}{2π}T$=$\frac{arccos（\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}）+θ}{960}π\(zhòng)sqrt{2l}$   （其中α、θ均有°表示）
答：（1）場(chǎng)強(qiáng)的大小是$\frac{mg}{q}$，方向?yàn)樨Q直向上．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{8\sqrt{2}m}{3q\sqrt{l}}$．
3）若改變小球在直桿上靜止釋放的位置，小球從Q點(diǎn)經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后直接到達(dá)x軸的時(shí)間為$\frac{arccos（\frac{5}{4}-\frac{3l}{32\sqrt{x}}）+θ}{960}π\(zhòng)sqrt{2l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要注意的幾個(gè)問題：①是由于重力與電場(chǎng)力抵消，所以小球從O點(diǎn)到Q點(diǎn)也不受支持力和摩擦力，合力為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．②第三問先假設(shè)從橫坐標(biāo)x處自由滑下，求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，確定圓心和半徑，求出轉(zhuǎn)過的角度，從而也就求出了時(shí)間．