Question

17．如圖所示，水平圓形轉(zhuǎn)臺(tái)能繞過圓心的豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)半徑R=1m，在轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣疊放物體A、B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.6，B與轉(zhuǎn)臺(tái)之間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.8，且m_A=2kg，m_B=5kg．（g取10m/s²，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）
（1）若開始的時(shí)候轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣只放上了B物體，求隨著轉(zhuǎn)速的增加，B物體即將發(fā)生滑動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的角速度ω；
（2）當(dāng)物體A、B疊放在一起的時(shí)候，轉(zhuǎn)臺(tái)以ω₁=2rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖a，求此時(shí)B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力大�。�
（3）現(xiàn)用一根長(zhǎng)l=$\sqrt{2}$m的輕繩將B、C相連，輕繩能夠承受的最大拉力為10$\sqrt{2}$N，C物體（可看作質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量為m_C=1kg，讓轉(zhuǎn)臺(tái)從靜止緩慢加速，如圖b，求細(xì)繩即將拉斷的瞬間（還未拉斷）轉(zhuǎn)臺(tái)所對(duì)應(yīng)的角速度，以及此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)B物體的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）最大靜摩擦力提供向心力即可求得最大角速度；
（2）判斷出AB不發(fā)生滑動(dòng)和A不發(fā)生滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，根據(jù)牛頓第二定律求得摩擦力的大�。�
（3）對(duì)C受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求得轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，然后對(duì)AB組成的整體根據(jù)牛頓第二定律判斷出加速度和摩擦力

解答 解：
（1）B物體即將發(fā)生滑動(dòng)時(shí)
對(duì)B：${μ}_{2}{m}_{B}g={m}_{B}{ω}^{2}R$
解得：$ω=2\sqrt{2}rad/s$
（2）假設(shè)A、B無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則它們恰好滑離臺(tái)面時(shí)
對(duì)AB：${μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）g=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{0}^{2}R$
解得：${ω}_{0}=2\sqrt{2}rad/s$
同理，A恰好滑離B時(shí)有
對(duì)A：${μ}_{1}{m}_{A}g={{m}_{A}ω′}_{0}^{2}R$
解得：$ω{′}_{0}=\sqrt{6}rad/s$
由于ω₁＜ω₀＜ω′₀，所以此時(shí)A、B和轉(zhuǎn)臺(tái)保持相對(duì)靜止
則對(duì)AB：$f=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{1}^{2}R$
由牛頓第三定律得：f′=f=28N
（3）繩子即將拉斷的瞬間，設(shè)繩與豎直方向夾角為θ
對(duì)C，豎直方向：Tcosθ=m_Cg
水平方向：$Tsinθ={{m}_{C}ω}_{2}^{2}（R+Lsinθ）$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{5}rad/s$，θ=45°
由于ω₂＜ω′₀，則物體A不可能單獨(dú)滑離轉(zhuǎn)臺(tái)
設(shè)AB與轉(zhuǎn)臺(tái)保持相對(duì)靜止，B受靜摩擦力為f_B
對(duì)AB：${f}_{B}-Tsinθ=（{m}_{A}+{m}_{B}{）ω}_{2}^{2}R$
解得：f_B=45N＜μ₂（m_A+m_B+m_C）g，則假設(shè)成立   
則f_B=45N
方向：沿半徑指向圓心                   
答：（1）隨著轉(zhuǎn)速的增加，B物體即將發(fā)生滑動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的角速度ω為$2\sqrt{2}rad/s$
（2）此時(shí)B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的摩擦力大小為28N
（3）細(xì)繩即將拉斷的瞬間（還未拉斷）轉(zhuǎn)臺(tái)所對(duì)應(yīng)的角速度為$\sqrt{5}rad/s$，以及此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)B物體的摩擦力為45N

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確對(duì)物體進(jìn)行受力分析，知道B對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦力第一次發(fā)生突變時(shí)的臨界條件，特別注意C做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是C到轉(zhuǎn)軸的距離，難度較大，屬于難題．