Question

11．如圖所示，在半徑為R的光滑半圓軌道于高為10R的光滑斜軌道處于同一豎直平面內，兩軌道之間用光滑軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上輕彈簧被a、b兩小球擠壓（不栓接）處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)同時釋放兩小球，a恰好能通過最高點A；b恰好能到達B點．已知a的質量為m_a；b的質量為m_b；求：
（1）a球離開彈簧時的速度v_a 
（2）b球離開彈簧時的速度v_b
（3）彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球a能通過最高點，由重力充當向心力，由向心力公式可得出小球a在A點的速度，由機械能守恒可得出小球a釋放時的速度v_a；
（2）對b球，由機械能守恒可得出小球b的速度v_b；
（3）對系統(tǒng)由動量守恒可求得兩小球的質量關系，由機械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）a球過恰好通過圓軌道最高點A時，有：
m_ag=m_a$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
則得：v_A=$\sqrt{gR}$
a球從C運動到A，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_av_C²=$\frac{1}{2}$m_av_A²+2m_agR
由以上兩式求出：v_a=v_C=$\sqrt{5gR}$
（2）b球從D運動到B，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_bv_D²=m_bg×10R
求得：v_b=v_D=2$\sqrt{5gR}$
（3）彈簧的彈性勢能為：E_p=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²
解得：E_ρ=2.5m_agR+10m_bgR 
答：（1）a球離開彈簧時的速度v_a為$\sqrt{5gR}$．
（2）b球離開彈簧時的速度v_b為2$\sqrt{5gR}$．
（3）彈簧的彈性勢能E_p為2.5m_agR+10m_bgR．

點評 本題是機械能守恒定律和向心力的綜合應用，關鍵要明確a球通過圓軌道最高點的臨界條件：重力等于向心力．還要明確能量是如何轉化的．