Question

11．如圖所示，在半徑為R的光滑半圓軌道于高為10R的光滑斜軌道處于同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間用光滑軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過(guò)渡．在水平軌道上輕彈簧被a、b兩小球擠壓（不栓接）處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)同時(shí)釋放兩小球，a恰好能通過(guò)最高點(diǎn)A；b恰好能到達(dá)B點(diǎn)．已知a的質(zhì)量為m_a；b的質(zhì)量為m_b；求：
（1）a球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度v_a 
（2）b球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度v_b
（3）彈簧的彈性勢(shì)能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球a能通過(guò)最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出小球a在A點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒可得出小球a釋放時(shí)的速度v_a；
（2）對(duì)b球，由機(jī)械能守恒可得出小球b的速度v_b；
（3）對(duì)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒可求得兩小球的質(zhì)量關(guān)系，由機(jī)械能守恒可得出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）a球過(guò)恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)A時(shí)，有：
m_ag=m_a$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
則得：v_A=$\sqrt{gR}$
a球從C運(yùn)動(dòng)到A，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_av_C²=$\frac{1}{2}$m_av_A²+2m_agR
由以上兩式求出：v_a=v_C=$\sqrt{5gR}$
（2）b球從D運(yùn)動(dòng)到B，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_bv_D²=m_bg×10R
求得：v_b=v_D=2$\sqrt{5gR}$
（3）彈簧的彈性勢(shì)能為：E_p=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²
解得：E_ρ=2.5m_agR+10m_bgR 
答：（1）a球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度v_a為$\sqrt{5gR}$．
（2）b球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度v_b為2$\sqrt{5gR}$．
（3）彈簧的彈性勢(shì)能E_p為2.5m_agR+10m_bgR．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律和向心力的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要明確a球通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．還要明確能量是如何轉(zhuǎn)化的．