Question

2．行星探測器是人類探測行星的主要工具．在某次探測過程中，探測器在靠近行星表面的軌道上做勻速圓周運動，經(jīng)過t秒運動了N圈，已知該行星的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）探測器在軌道上運動的周期T；
（2）行星的質量M；
（3）行星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)探測器繞行星轉動的圈數(shù)和時間求出探測器的周期．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，結合軌道半徑和周期求出行星的質量．
（3）根據(jù)萬有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：（1）探測器在軌道上運動的周期T=$\frac{t}{N}$；
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
把T=$\frac{t}{N}$代入得，行星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$．
（3）根據(jù)萬有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
把M=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$代入得，g=$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}R}{{t}^{2}}$．
答：（1）探測器在軌道上運動的周期T為$\frac{t}{N}$；
（2）行星的質量M為$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}{R}^{3}}{G{t}^{2}}$；
（3）行星表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}{N}^{2}R}{{t}^{2}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．