Question

13．已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，則距地面高度為h處的重力加速度為$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$，某星球的半徑是地球的一半，質量是地球的4倍，在地球上以v₀豎直上拋一物體達到的最大高度為H，則在該星球以同樣的初速度豎直上拋的最大高度為$\frac{H}{16}$，該星球與地球的第一宇宙速度之比為2$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 抓住重力和萬有引力相等展開討論即可；
根據豎直上拋運動的規(guī)律求得上升的最大高度跟重力加速度的關系，再由（1）問的中重力加速度關系求得上升最大高度比．
再根據第一宇宙速度求星球的第一宇宙速度，即可求解；

解答 解：根據題意有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg…①
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mg′…②
由①和②得：g′=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$
據豎直上拋運動規(guī)律可知，以v₀豎直上拋一物體，上升的最大高度為：H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
而在星球表面重力與萬有引力相等有重力加速度的表達式：
g″=G$\frac{4M}{（\frac{R}{2}）^{2}}$=16g
則在該星球以同樣的初速度豎直上拋，則有：$\frac{H′}{H}$=$\frac{g}{g″}$=$\frac{1}{16}$
那么以同樣的初速度豎直上拋的最大高度為$\frac{H}{16}$；
地球表面重力等于萬有引力，近地軌道上萬有引力提供圓周運動向心力有：
mg=m$\frac{m{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{gR}$
同理可得某星球的第一宇宙速度為：v′=$\sqrt{g″\frac{R}{2}}$=$\sqrt{16g×\frac{R}{2}}$=2$\sqrt{2}$v
因此星球與地球的第一宇宙速度之比為2$\sqrt{2}$：1；
故答案為：$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}g$，$\frac{H}{16}$，2$\sqrt{2}$：1．

點評 本題抓住在星球表面重力與萬有引力大小相等，根據半徑與質量關系求解重力加速度的大小關系，能根據豎直上拋求得上升最大高度與重力加速度的大小關系．第一宇宙速度是近地衛(wèi)星運行的速度，由星球表面的重力提供圓周運動的向心力．