Question

4．輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2r，將彈簧豎直放置在地面上，如圖甲所示，在其頂端將一質(zhì)量為4m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為r，現(xiàn)將該彈簧水平放置，如圖乙所示，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長(zhǎng)度為5r的水平軌道，B端與半徑為r的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度r后，撤去外力，P由靜止開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g，彈簧處于彈性限度內(nèi)．
（1）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求物塊P質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先研究彈簧豎直放置時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能，即可得到用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度r時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能．P從釋放到B的過(guò)程，由能量守恒定律求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，則物塊P到達(dá)B點(diǎn)的速度不能等于零．沿圓弧上升的最大高度不能超過(guò)C點(diǎn)，由能量守恒定律求P質(zhì)量的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)彈簧豎直放置時(shí)，長(zhǎng)度被壓縮至r時(shí)，由機(jī)械能守恒定律知，彈簧的彈性勢(shì)能 E_p=4mgr
設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v_B．
由能量守恒定律知：
   E_p=μmg（5r-r）+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立解得 v_B=2$\sqrt{gr}$
（2）設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)的速度不能小于零，由此可知，E_p＞μMg•4r
即 4mgr＞μMg•4r
解得 M＜2m
要使P仍能沿圓弧軌道滑回，P在圓軌道上上升的高度不能超過(guò)半圓弧的中點(diǎn)C．
P從B沿圓弧上滑的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律知 $\frac{1}{2}M{v}_{B}^{′2}$≤Mgr
P從釋放到B的過(guò)程，由能量守恒定律得  E_p=μMg（5r-r）+$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{′2}$
聯(lián)立解得 M≥$\frac{4}{3}$m
所以P質(zhì)量范圍為 $\frac{4}{3}$m≤M＜2m
答：
（1）若P的質(zhì)量為m，P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小是2$\sqrt{gr}$；
（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，物塊P質(zhì)量的取值范圍為 $\frac{4}{3}$m≤M＜2m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢(shì)能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律列式是關(guān)鍵．