Question

12．近幾年來我國在深海與太空探測方面有了重大的發(fā)展．2015年1月5日“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器在西南印度洋“龍旅”熱液區(qū)完成兩次下潛科考任務，2016年8月16日1時40分，我國將世界首顆量子科學實驗衛(wèi)星（簡稱“量子衛(wèi)星”）發(fā)射升空．把地球看做質量分布均勻的球體且質量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．若地球半徑為R，“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，量子衛(wèi)星軌道距離地面高度為h，“蛟龍?zhí)枴彼�在處與“量子衛(wèi)星”所處的加速度之比為（　　）

• A． $\frac{{{{（R-d）}^2}}}{{{{（R+h）}^2}}}$
• B． $\frac{R-d}{R+h}$
• C． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^2}}}{R^3}$
• D． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^{\;}}}}{R^2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d的地球內(nèi)部的重力加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，運用萬有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質量為：M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，所以重力加速度的表達式可寫成：g=$\frac{4}{3}πGρR$．
根據(jù)題意有，質量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}πGρ（R-d）$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{g′}{g}$=$\frac{R-d}{R}$．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma，量子衛(wèi)星的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{a}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{{g}^{′}}{a}$=$\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$，故C正確，A、B、D錯誤．
故選：C

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地球內(nèi)部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地球內(nèi)部距離地面d處所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量m．