Question

12．近幾年來我國在深海與太空探測方面有了重大的發(fā)展．2015年1月5日“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器在西南印度洋“龍旅”熱液區(qū)完成兩次下潛科考任務，2016年8月16日1時40分，我國將世界首顆量子科學實驗衛(wèi)星（簡稱“量子衛(wèi)星”）發(fā)射升空．把地球看做質量分布均勻的球體且質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．若地球半徑為R，“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐，量子衛(wèi)星軌道距離地面高度為h，“蛟龍?zhí)枴彼�在處與“量子衛(wèi)星”所處的加速度之比為（　�。�

• A． $\frac{{{{（R-d）}^2}}}{{{{（R+h）}^2}}}$
• B． $\frac{R-d}{R+h}$
• C． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^2}}}{R^3}$
• D． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^{\;}}}}{R^2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d的地球內部的重力加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，運用萬有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質量為：M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，所以重力加速度的表達式可寫成：g=$\frac{4}{3}πGρR$．
根據(jù)題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}πGρ（R-d）$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{g′}{g}$=$\frac{R-d}{R}$．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma，量子衛(wèi)星的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{a}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{{g}^{′}}{a}$=$\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$，故C正確，A、B、D錯誤．
故選：C

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地球內部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地球內部距離地面d處所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量m．